Theorem lukshefth1 1728

Description: Lemma for renicax 1730. (Contributed by NM, 31-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lukshefth1	⊢ ((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)))

Proof of Theorem lukshefth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lukshef-ax1 1727	. 2 ⊢ ((𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏)))))
2		lukshef-ax1 1727	. . . 4 ⊢ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜏) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜃)))))
3		lukshef-ax1 1727	. . . 4 ⊢ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜏) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜃))))) ⊼ ((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))))) ⊼ ((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏)))) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))))))))
4	2, 3	nic-mp 1704	. . 3 ⊢ ((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏)))) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))))))
5		lukshef-ax1 1727	. . 3 ⊢ (((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏)))) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏)))))) ⊼ (((𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ⊼ ((𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)))) ⊼ (((𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))))) ⊼ (((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ⊼ ((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)))))))
6	4, 5	nic-mp 1704	. 2 ⊢ (((𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))))) ⊼ (((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ⊼ ((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)))))
7	1, 6	nic-mp 1704	1 ⊢ ((((𝜏 ⊼ 𝜓) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)))

This proof depends on syntax axioms:   ⊼ wnan 1521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-nan 1522

This theorem is used by:  lukshefth2  1729  renicax  1730