Theorem lukshefth2 1729

Description: Lemma for renicax 1730. (Contributed by NM, 31-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lukshefth2	⊢ ((𝜏 ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜏)))

Proof of Theorem lukshefth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lukshef-ax1 1727	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜃)))))
2		lukshef-ax1 1727	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜃))))) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃)))))
3	1, 2	nic-mp 1704	. . 3 ⊢ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃)))
4		lukshefth1 1728	. . . 4 ⊢ ((((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜑)))
5		lukshef-ax1 1727	. . . . 5 ⊢ (((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃))) ⊼ ((𝜑 ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜑)) ⊼ ((𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃)) ⊼ (((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ 𝜑)))))
6		lukshef-ax1 1727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃))) ⊼ ((𝜑 ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜑)) ⊼ ((𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃)) ⊼ (((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ 𝜑))))) ⊼ (((((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ ((((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))))) ⊼ (((((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜑))) ⊼ ((((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))))))))
7	5, 6	nic-mp 1704	. . . 4 ⊢ (((((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜑))) ⊼ ((((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))))))
8	4, 7	nic-mp 1704	. . 3 ⊢ (((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜓 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜑)) ⊼ 𝜃))) ⊼ (((𝜏 ⊼ 𝜑) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))))
9	3, 8	nic-mp 1704	. 2 ⊢ (𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃))
10		lukshef-ax1 1727	. 2 ⊢ ((𝜃 ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜃)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜏 ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜏)))))
11	9, 10	nic-mp 1704	1 ⊢ ((𝜏 ⊼ 𝜃) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜏) ⊼ (𝜃 ⊼ 𝜏)))

This proof depends on syntax axioms:   ⊼ wnan 1521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-nan 1522

This theorem is used by:  renicax  1730