Theorem re1tbw1 1744

Description: tbw-ax1 1699 rederived from merco2 1735. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
re1tbw1	⊢ ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))

Proof of Theorem re1tbw1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mercolem3 1738	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒)))
2		mercolem8 1743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))))
3		mercolem6 1741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))) → ((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))
5		mercolem3 1738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))) → ((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))))
7		mercolem8 1743	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒))) → (((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))) → (((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒))) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))))))
8		mercolem6 1741	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒))) → (((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))) → (((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒))) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))))))) → (((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))) → (((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒))) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))))))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))) → (((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒))) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))))))
10	6, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → (𝜑 → 𝜒))) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))))
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))))
12		mercolem6 1741	. . 3 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))) → ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))
14		mercolem6 1741	. 2 ⊢ (((𝜓 → 𝜒) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))) → ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒))))
15	13, 14	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜑 → 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-tru 1542  df-fal 1552

This theorem is referenced by:  re1tbw4  1747