Theorem tbwlem3 1706

Description: Used to rederive the Lukasiewicz axioms from Tarski-Bernays-Wajsberg'. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
tbwlem3	⊢ (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)

Proof of Theorem tbwlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tbw-ax3 1701	. . 3 ⊢ (((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑)
2		tbw-ax2 1700	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → (((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑)))
3		tbw-ax1 1699	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → (((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑)) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)))
4	2, 3	tbwsyl 1703	. . 3 ⊢ ((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓))
6		tbw-ax1 1699	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)) → (((((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓) → 𝜓) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)))
7		tbw-ax3 1701	. . 3 ⊢ ((((((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓) → 𝜓) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓))
8	6, 7	tbwsyl 1703	. 2 ⊢ ((((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)) → (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓))
9	5, 8	ax-mp 5	1 ⊢ (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → 𝜓) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem is referenced by:  tbwlem4  1707