Theorem tbwlem4 1712

Description: Used to rederive the Lukasiewicz axioms from Tarski-Bernays-Wajsberg'. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
tbwlem4	⊢ (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))

Proof of Theorem tbwlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tbw-ax4 1707	. . . . 5 ⊢ (⊥ → ⊥)
2		tbw-ax1 1704	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 → ⊥) → ((⊥ → ⊥) → (𝜓 → ⊥)))
3		tbwlem1 1709	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 → ⊥) → ((⊥ → ⊥) → (𝜓 → ⊥))) → ((⊥ → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥))))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((⊥ → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥)))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥))
6		tbwlem1 1709	. . . 4 ⊢ (((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥)) → (𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥))
8		tbw-ax1 1704	. . . 4 ⊢ (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥))))
9		tbwlem1 1709	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))) → ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥))))
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))
12		tbwlem2 1710	. . 3 ⊢ (((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑)))
13		tbwlem3 1711	. . 3 ⊢ (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑)) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))
14	12, 13	tbwsyl 1708	. 2 ⊢ (((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))
15	11, 14	tbwsyl 1708	1 ⊢ (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-tru 1542  df-fal 1552

This theorem is referenced by:  tbwlem5  1713  re1luk2  1715