Theorem csbunig 3900

Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbunig	|- (A e. V -> [_A / x]_U.B = U.[_A / x]_B)

Proof of Theorem csbunig

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3198	. . 3 |- (A e. V -> [_A / x]_{z | E.y(z e. y /\ y e. B)} = {z | [.A / x ].E.y(z e. y /\ y e. B)})
2		sbcexg 3097	. . . . 5 |- (A e. V -> ( [.A / x ].E.y(z e. y /\ y e. B) <-> E.y [.A / x ].(z e. y /\ y e. B)))
3		sbcang 3090	. . . . . . 7 |- (A e. V -> ( [.A / x ].(z e. y /\ y e. B) <-> ( [.A / x ].z e. y /\ [.A / x ].y e. B)))
4		sbcg 3112	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ( [.A / x ].z e. y <-> z e. y))
5		sbcel2g 3158	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ( [.A / x ].y e. B <-> y e. [_A / x]_B))
6	4, 5	anbi12d 691	. . . . . . 7 |- (A e. V -> (( [.A / x ].z e. y /\ [.A / x ].y e. B) <-> (z e. y /\ y e. [_A / x]_B)))
7	3, 6	bitrd 244	. . . . . 6 |- (A e. V -> ( [.A / x ].(z e. y /\ y e. B) <-> (z e. y /\ y e. [_A / x]_B)))
8	7	exbidv 1626	. . . . 5 |- (A e. V -> (E.y [.A / x ].(z e. y /\ y e. B) <-> E.y(z e. y /\ y e. [_A / x]_B)))
9	2, 8	bitrd 244	. . . 4 |- (A e. V -> ( [.A / x ].E.y(z e. y /\ y e. B) <-> E.y(z e. y /\ y e. [_A / x]_B)))
10	9	abbidv 2468	. . 3 |- (A e. V -> {z | [.A / x ].E.y(z e. y /\ y e. B)} = {z | E.y(z e. y /\ y e. [_A / x]_B)})
11	1, 10	eqtrd 2385	. 2 |- (A e. V -> [_A / x]_{z | E.y(z e. y /\ y e. B)} = {z | E.y(z e. y /\ y e. [_A / x]_B)})
12		df-uni 3893	. . 3 |- U.B = {z | E.y(z e. y /\ y e. B)}
13	12	csbeq2i 3163	. 2 |- [_A / x]_U.B = [_A / x]_{z | E.y(z e. y /\ y e. B)}
14		df-uni 3893	. 2 |- U.[_A / x]_B = {z | E.y(z e. y /\ y e. [_A / x]_B)}
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2410	1 |- (A e. V -> [_A / x]_U.B = U.[_A / x]_B)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339   [.wsbc 3047  [_csb 3137  U.cuni 3892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-uni 3893

This theorem is referenced by: (None)