Theorem csbunig 3900

Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbunig	⊢ (A ∈ V → [A / x]∪B = ∪[A / x]B)

Proof of Theorem csbunig

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3198	. . 3 ⊢ (A ∈ V → [A / x]{z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)} = {z ∣ [̣A / x]̣∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)})
2		sbcexg 3097	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → ([̣A / x]̣∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ∃y[̣A / x]̣(z ∈ y ∧ y ∈ B)))
3		sbcang 3090	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → ([̣A / x]̣(z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ([̣A / x]̣z ∈ y ∧ [̣A / x]̣y ∈ B)))
4		sbcg 3112	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ V → ([̣A / x]̣z ∈ y ↔ z ∈ y))
5		sbcel2g 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ V → ([̣A / x]̣y ∈ B ↔ y ∈ [A / x]B))
6	4, 5	anbi12d 691	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → (([̣A / x]̣z ∈ y ∧ [̣A / x]̣y ∈ B) ↔ (z ∈ y ∧ y ∈ [A / x]B)))
7	3, 6	bitrd 244	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → ([̣A / x]̣(z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ (z ∈ y ∧ y ∈ [A / x]B)))
8	7	exbidv 1626	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → (∃y[̣A / x]̣(z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ [A / x]B)))
9	2, 8	bitrd 244	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → ([̣A / x]̣∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ [A / x]B)))
10	9	abbidv 2468	. . 3 ⊢ (A ∈ V → {z ∣ [̣A / x]̣∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)} = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ [A / x]B)})
11	1, 10	eqtrd 2385	. 2 ⊢ (A ∈ V → [A / x]{z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)} = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ [A / x]B)})
12		df-uni 3893	. . 3 ⊢ ∪B = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)}
13	12	csbeq2i 3163	. 2 ⊢ [A / x]∪B = [A / x]{z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)}
14		df-uni 3893	. 2 ⊢ ∪[A / x]B = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ [A / x]B)}
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2410	1 ⊢ (A ∈ V → [A / x]∪B = ∪[A / x]B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  [̣wsbc 3047  [csb 3137  ∪cuni 3892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-uni 3893

This theorem is referenced by: (None)