Theorem eqop 4612

Description: Express equality to an ordered pair. (Contributed by SF, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqop	|- (A = <.B, C>. <-> A.z(z e. A <-> (E.t e. B z = Phi t \/ E.t e. C z = ( Phi t u. {0c}))))

Distinct variable groups:   z,A,t   z,B,t   t,C,z

Proof of Theorem eqop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2347	. 2 |- (A = <.B, C>. <-> A.z(z e. A <-> z e. <.B, C>.))
2		df-op 4567	. . . . . . 7 |- <.B, C>. = ({z | E.t e. B z = Phi t} u. {z | E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})})
3	2	eleq2i 2417	. . . . . 6 |- (z e. <.B, C>. <-> z e. ({z | E.t e. B z = Phi t} u. {z | E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})}))
4		elun 3221	. . . . . 6 |- (z e. ({z | E.t e. B z = Phi t} u. {z | E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})}) <-> (z e. {z | E.t e. B z = Phi t} \/ z e. {z | E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})}))
5	3, 4	bitri 240	. . . . 5 |- (z e. <.B, C>. <-> (z e. {z | E.t e. B z = Phi t} \/ z e. {z | E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})}))
6		abid 2341	. . . . . 6 |- (z e. {z | E.t e. B z = Phi t} <-> E.t e. B z = Phi t)
7		abid 2341	. . . . . 6 |- (z e. {z | E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})} <-> E.t e. C z = ( Phi t u. {0c}))
8	6, 7	orbi12i 507	. . . . 5 |- ((z e. {z | E.t e. B z = Phi t} \/ z e. {z | E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})}) <-> (E.t e. B z = Phi t \/ E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})))
9	5, 8	bitri 240	. . . 4 |- (z e. <.B, C>. <-> (E.t e. B z = Phi t \/ E.t e. C z = ( Phi t u. {0c})))
10	9	bibi2i 304	. . 3 |- ((z e. A <-> z e. <.B, C>.) <-> (z e. A <-> (E.t e. B z = Phi t \/ E.t e. C z = ( Phi t u. {0c}))))
11	10	albii 1566	. 2 |- (A.z(z e. A <-> z e. <.B, C>.) <-> A.z(z e. A <-> (E.t e. B z = Phi t \/ E.t e. C z = ( Phi t u. {0c}))))
12	1, 11	bitri 240	1 |- (A = <.B, C>. <-> A.z(z e. A <-> (E.t e. B z = Phi t \/ E.t e. C z = ( Phi t u. {0c}))))

Syntax hints:   <-> wb 176   \/ wo 357  A.wal 1540   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  E.wrex 2616   u. cun 3208  {csn 3738  0_cc0c 4375  <.cop 4562   Phi cphi 4563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-un 3215  df-op 4567

This theorem is referenced by:  setconslem3  4734  setconslem7  4738