Theorem elun 3220

Description: Membership in union. (Contributed by SF, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elun	|- (A e. (B u. C) <-> (A e. B \/ A e. C))

Proof of Theorem elun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2867	. 2 |- (A e. (B u. C) -> A e. _V)
2		elex 2867	. . 3 |- (A e. B -> A e. _V)
3		elex 2867	. . 3 |- (A e. C -> A e. _V)
4	2, 3	jaoi 368	. 2 |- ((A e. B \/ A e. C) -> A e. _V)
5		elning 3217	. . . 4 |- (A e. _V -> (A e. ( ∼ B &ncap ∼ C) <-> (A e. ∼ B -/\ A e. ∼ C)))
6		elcomplg 3218	. . . . 5 |- (A e. _V -> (A e. ∼ B <-> -. A e. B))
7		elcomplg 3218	. . . . 5 |- (A e. _V -> (A e. ∼ C <-> -. A e. C))
8	6, 7	nanbi12d 1303	. . . 4 |- (A e. _V -> ((A e. ∼ B -/\ A e. ∼ C) <-> (-. A e. B -/\ -. A e. C)))
9	5, 8	bitrd 244	. . 3 |- (A e. _V -> (A e. ( ∼ B &ncap ∼ C) <-> (-. A e. B -/\ -. A e. C)))
10		df-un 3214	. . . 4 |- (B u. C) = ( ∼ B &ncap ∼ C)
11	10	eleq2i 2417	. . 3 |- (A e. (B u. C) <-> A e. ( ∼ B &ncap ∼ C))
12		oran 482	. . . 4 |- ((A e. B \/ A e. C) <-> -. (-. A e. B /\ -. A e. C))
13		df-nan 1288	. . . 4 |- ((-. A e. B -/\ -. A e. C) <-> -. (-. A e. B /\ -. A e. C))
14	12, 13	bitr4i 243	. . 3 |- ((A e. B \/ A e. C) <-> (-. A e. B -/\ -. A e. C))
15	9, 11, 14	3bitr4g 279	. 2 |- (A e. _V -> (A e. (B u. C) <-> (A e. B \/ A e. C)))
16	1, 4, 15	pm5.21nii 342	1 |- (A e. (B u. C) <-> (A e. B \/ A e. C))

Syntax hints:  -. wn 3   <-> wb 176   \/ wo 357   /\ wa 358   -/\ wnan 1287   e. wcel 1710  _Vcvv 2859   &ncap cnin 3204   ∼ ccompl 3205   u. cun 3207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-un 3214

This theorem is referenced by:  elsymdif  3223  uneqri  3406  uncom  3408  uneq1  3411  unass  3420  ssun1  3426  unss1  3432  ssequn1  3433  unss  3437  rexun  3443  ralunb  3444  indi  3501  undi  3502  unineq  3505  undif3  3515  symdif2  3520  rabun2  3534  reuun2  3538  undif4  3607  ssundif  3633  dfpr2  3749  eltpg  3769  pwpr  3883  pwtp  3884  unipr  3905  uniun  3910  intun  3958  iinun2  4032  iunun  4046  iunxun  4047  iinuni  4049  pwadjoin  4119  pw1un  4163  dfimak2  4298  dfaddc2  4381  nnsucelrlem1  4424  nnsucelrlem2  4425  nndisjeq  4429  ltfinex  4464  ltfintrilem1  4465  eqtfinrelk  4486  evenfinex  4503  oddfinex  4504  evenoddnnnul  4514  evenodddisjlem1  4515  nnadjoinlem1  4519  vfinspss  4551  vinf  4555  dfphi2  4569  dfop2lem1  4573  phi011lem1  4598  proj1op  4600  proj2op  4601  eqop  4611  brun  4692  setconslem2  4732  setconslem3  4733  setconslem7  4737  dfswap2  4741  xpundi  4832  xpundir  4833  dmun  4912  funun  5146  unpreima  5408  fvclss  5462  cupex  5816  clos1baseima  5883  connexex  5913  enadjlem1  6059  enadj  6060  enprmaplem4  6079  fce  6188  leconnnc  6218  nmembers1lem3  6270  nncdiv3lem2  6276  nchoicelem6  6294  nchoicelem18  6306