Theorem ncfinsn 4477

Description: If the universe is finite, then the cardinality of a singleton is 1_c. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ncfinsn	|- ((_V e. Fin /\ A e. V) -> Ncfin {A} = 1c)

Proof of Theorem ncfinsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4112	. . . . 5 |- {A} e. _V
2		ncfinprop 4475	. . . . 5 |- ((_V e. Fin /\ {A} e. _V) -> ( Ncfin {A} e. Nn /\ {A} e. Ncfin {A}))
3	1, 2	mpan2 652	. . . 4 |- (_V e. Fin -> ( Ncfin {A} e. Nn /\ {A} e. Ncfin {A}))
4	3	adantr 451	. . 3 |- ((_V e. Fin /\ A e. V) -> ( Ncfin {A} e. Nn /\ {A} e. Ncfin {A}))
5	4	simpld 445	. 2 |- ((_V e. Fin /\ A e. V) -> Ncfin {A} e. Nn )
6		1cnnc 4409	. . 3 |- 1c e. Nn
7	6	a1i 10	. 2 |- ((_V e. Fin /\ A e. V) -> 1c e. Nn )
8	4	simprd 449	. 2 |- ((_V e. Fin /\ A e. V) -> {A} e. Ncfin {A})
9		snel1cg 4142	. . 3 |- (A e. V -> {A} e. 1c)
10	9	adantl 452	. 2 |- ((_V e. Fin /\ A e. V) -> {A} e. 1c)
11		nnceleq 4431	. 2 |- ((( Ncfin {A} e. Nn /\ 1c e. Nn ) /\ ({A} e. Ncfin {A} /\ {A} e. 1c)) -> Ncfin {A} = 1c)
12	5, 7, 8, 10, 11	syl22anc 1183	1 |- ((_V e. Fin /\ A e. V) -> Ncfin {A} = 1c)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  {csn 3738  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   Fin cfin 4377   Nc_fin cncfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-ncfin 4443

This theorem is referenced by:  vfinncsp  4555