Theorem opelopabga 4701

Description: The law of concretion. Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelopabga.1	|- ((x = A /\ y = B) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
opelopabga	|- ((A e. V /\ B e. W) -> (<.A, B>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   ps,x,y

Allowed substitution hints:   ph(x,y)   V(x,y)   W(x,y)

Proof of Theorem opelopabga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4697	. 2 |- (<.A, B>. e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ ph))
2		opelopabga.1	. . 3 |- ((x = A /\ y = B) -> (ph <-> ps))
3	2	copsex2g 4610	. 2 |- ((A e. V /\ B e. W) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ ph) <-> ps))
4	1, 3	syl5bb 248	1 |- ((A e. V /\ B e. W) -> (<.A, B>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  <.cop 4562  {copab 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624

This theorem is referenced by:  brabga  4702  opelopab2a  4703  opelopaba  4704  opelopabg  4706