Theorem pwexg 4329

Description: The power class of a set is a set. (Contributed by SF, 21-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwexg	|- (A e. V -> ~PA e. _V)

Proof of Theorem pwexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpw2 4328	. 2 |- ~PA = ∼ (( Sk \ (~P1 A X.k _V))"k1c)
2		ssetkex 4295	. . . . 5 |- Sk e. _V
3		pw1exg 4303	. . . . . 6 |- (A e. V -> ~P1 A e. _V)
4		vvex 4110	. . . . . 6 |- _V e. _V
5		xpkexg 4289	. . . . . 6 |- ((~P1 A e. _V /\ _V e. _V) -> (~P1 A X.k _V) e. _V)
6	3, 4, 5	sylancl 643	. . . . 5 |- (A e. V -> (~P1 A X.k _V) e. _V)
7		difexg 4103	. . . . 5 |- (( Sk e. _V /\ (~P1 A X.k _V) e. _V) -> ( Sk \ (~P1 A X.k _V)) e. _V)
8	2, 6, 7	sylancr 644	. . . 4 |- (A e. V -> ( Sk \ (~P1 A X.k _V)) e. _V)
9		1cex 4143	. . . 4 |- 1c e. _V
10		imakexg 4300	. . . 4 |- ((( Sk \ (~P1 A X.k _V)) e. _V /\ 1c e. _V) -> (( Sk \ (~P1 A X.k _V))"k1c) e. _V)
11	8, 9, 10	sylancl 643	. . 3 |- (A e. V -> (( Sk \ (~P1 A X.k _V))"k1c) e. _V)
12		complexg 4100	. . 3 |- ((( Sk \ (~P1 A X.k _V))"k1c) e. _V -> ∼ (( Sk \ (~P1 A X.k _V))"k1c) e. _V)
13	11, 12	syl 15	. 2 |- (A e. V -> ∼ (( Sk \ (~P1 A X.k _V))"k1c) e. _V)
14	1, 13	syl5eqel 2437	1 |- (A e. V -> ~PA e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207  ~Pcpw 3723  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   X._k cxpk 4175  "_kcimak 4180   S_k cssetk 4184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194

This theorem is referenced by:  pwex  4330  pmex  6006  ltcpw1pwg  6203