Theorem imakexg 4300

Description: The image of a set under a set is a set. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imakexg	|- ((A e. V /\ B e. W) -> (A"kB) e. _V)

Proof of Theorem imakexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfimak2 4299	. 2 |- (A"kB) = ∼ P6 ( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V)))
2		1cex 4143	. . . . . 6 |- 1c e. _V
3		vvex 4110	. . . . . 6 |- _V e. _V
4	2, 3	xpkex 4290	. . . . 5 |- (1c X.k _V) e. _V
5	4	complex 4105	. . . 4 |- ∼ (1c X.k _V) e. _V
6		xpkexg 4289	. . . . . . 7 |- ((B e. W /\ _V e. _V) -> (B X.k _V) e. _V)
7	3, 6	mpan2 652	. . . . . 6 |- (B e. W -> (B X.k _V) e. _V)
8		inexg 4101	. . . . . 6 |- ((A e. V /\ (B X.k _V) e. _V) -> (A i^i (B X.k _V)) e. _V)
9	7, 8	sylan2 460	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. W) -> (A i^i (B X.k _V)) e. _V)
10		complexg 4100	. . . . 5 |- ((A i^i (B X.k _V)) e. _V -> ∼ (A i^i (B X.k _V)) e. _V)
11		sikexg 4297	. . . . 5 |- ( ∼ (A i^i (B X.k _V)) e. _V -> SIk ∼ (A i^i (B X.k _V)) e. _V)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . 4 |- ((A e. V /\ B e. W) -> SIk ∼ (A i^i (B X.k _V)) e. _V)
13		unexg 4102	. . . 4 |- (( ∼ (1c X.k _V) e. _V /\ SIk ∼ (A i^i (B X.k _V)) e. _V) -> ( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V))) e. _V)
14	5, 12, 13	sylancr 644	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. W) -> ( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V))) e. _V)
15		p6exg 4291	. . 3 |- (( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V))) e. _V -> P6 ( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V))) e. _V)
16		complexg 4100	. . 3 |- ( P6 ( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V))) e. _V -> ∼ P6 ( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V))) e. _V)
17	14, 15, 16	3syl 18	. 2 |- ((A e. V /\ B e. W) -> ∼ P6 ( ∼ (1c X.k _V) u. SIk ∼ (A i^i (B X.k _V))) e. _V)
18	1, 17	syl5eqel 2437	1 |- ((A e. V /\ B e. W) -> (A"kB) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   u. cun 3208   i^i cin 3209  1_cc1c 4135   X._k cxpk 4175   P6 cp6 4179  "_kcimak 4180   SI_k csik 4182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-si 4084  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193

This theorem is referenced by:  imakex  4301  pw1exg  4303  cokexg  4310  imagekexg  4312  uniexg  4317  intexg  4320  pwexg  4329  addcexg  4394  phiexg  4572  opexg  4588  proj1exg  4592  proj2exg  4593  imaexg  4747  coexg  4750  siexg  4753