Theorem ssetkex 4295

Description: The Kuratowski subset relationship is a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssetkex	|- Sk e. _V

Proof of Theorem ssetkex

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-sset 4083	. 2 |- E.xA.yA.z(<<y, z>> e. x <-> A.w(w e. y -> w e. z))
2		inss1 3476	. . . . . . 7 |- ((_V X.k _V) i^i x) C_ (_V X.k _V)
3		ssetkssvvk 4279	. . . . . . 7 |- Sk C_ (_V X.k _V)
4		eqrelk 4213	. . . . . . 7 |- ((((_V X.k _V) i^i x) C_ (_V X.k _V) /\ Sk C_ (_V X.k _V)) -> (((_V X.k _V) i^i x) = Sk <-> A.yA.z(<<y, z>> e. ((_V X.k _V) i^i x) <-> <<y, z>> e. Sk )))
5	2, 3, 4	mp2an 653	. . . . . 6 |- (((_V X.k _V) i^i x) = Sk <-> A.yA.z(<<y, z>> e. ((_V X.k _V) i^i x) <-> <<y, z>> e. Sk ))
6		vex 2863	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
7		vex 2863	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
8	6, 7	opkelxpk 4249	. . . . . . . . . 10 |- (<<y, z>> e. (_V X.k _V) <-> (y e. _V /\ z e. _V))
9	6, 7, 8	mpbir2an 886	. . . . . . . . 9 |- <<y, z>> e. (_V X.k _V)
10		elin 3220	. . . . . . . . 9 |- (<<y, z>> e. ((_V X.k _V) i^i x) <-> (<<y, z>> e. (_V X.k _V) /\ <<y, z>> e. x))
11	9, 10	mpbiran 884	. . . . . . . 8 |- (<<y, z>> e. ((_V X.k _V) i^i x) <-> <<y, z>> e. x)
12		opkelssetkg 4269	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. _V /\ z e. _V) -> (<<y, z>> e. Sk <-> y C_ z))
13	6, 7, 12	mp2an 653	. . . . . . . . 9 |- (<<y, z>> e. Sk <-> y C_ z)
14		dfss2 3263	. . . . . . . . 9 |- (y C_ z <-> A.w(w e. y -> w e. z))
15	13, 14	bitri 240	. . . . . . . 8 |- (<<y, z>> e. Sk <-> A.w(w e. y -> w e. z))
16	11, 15	bibi12i 306	. . . . . . 7 |- ((<<y, z>> e. ((_V X.k _V) i^i x) <-> <<y, z>> e. Sk ) <-> (<<y, z>> e. x <-> A.w(w e. y -> w e. z)))
17	16	2albii 1567	. . . . . 6 |- (A.yA.z(<<y, z>> e. ((_V X.k _V) i^i x) <-> <<y, z>> e. Sk ) <-> A.yA.z(<<y, z>> e. x <-> A.w(w e. y -> w e. z)))
18	5, 17	bitri 240	. . . . 5 |- (((_V X.k _V) i^i x) = Sk <-> A.yA.z(<<y, z>> e. x <-> A.w(w e. y -> w e. z)))
19	18	biimpri 197	. . . 4 |- (A.yA.z(<<y, z>> e. x <-> A.w(w e. y -> w e. z)) -> ((_V X.k _V) i^i x) = Sk )
20		vvex 4110	. . . . . 6 |- _V e. _V
21		xpkvexg 4286	. . . . . 6 |- (_V e. _V -> (_V X.k _V) e. _V)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- (_V X.k _V) e. _V
23		vex 2863	. . . . 5 |- x e. _V
24	22, 23	inex 4106	. . . 4 |- ((_V X.k _V) i^i x) e. _V
25	19, 24	syl6eqelr 2442	. . 3 |- (A.yA.z(<<y, z>> e. x <-> A.w(w e. y -> w e. z)) -> Sk e. _V)
26	25	exlimiv 1634	. 2 |- (E.xA.yA.z(<<y, z>> e. x <-> A.w(w e. y -> w e. z)) -> Sk e. _V)
27	1, 26	ax-mp 5	1 |- Sk e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   i^i cin 3209   C_ wss 3258  <<copk 4058   X._k cxpk 4175   S_k cssetk 4184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-sset 4083  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186  df-ssetk 4194

This theorem is referenced by:  imagekexg  4312  idkex  4315  uniexg  4317  intexg  4320  setswithex  4323  pwexg  4329  addcexlem  4383  nncex  4397  nnsucelrlem1  4425  nndisjeq  4430  ltfinex  4465  ssfin  4471  ncfinraiselem2  4481  ncfinlowerlem1  4483  tfinrelkex  4488  evenfinex  4504  oddfinex  4505  evenodddisjlem1  4516  nnadjoinlem1  4520  nnpweqlem1  4523  srelkex  4526  tfinnnlem1  4534  spfinex  4538  opexg  4588  proj2exg  4593  setconslem5  4736  1stex  4740  swapex  4743  ssetex  4745