Theorem xpkexg 4289

Description: The Kuratowski cross product of two sets is a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpkexg	|- ((A e. V /\ B e. W) -> (A X.k B) e. _V)

Proof of Theorem xpkexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvkxpk 4277	. . 3 |- `'k(_V X.k A) = (A X.k _V)
2		xpkvexg 4286	. . . 4 |- (A e. V -> (_V X.k A) e. _V)
3		cnvkexg 4287	. . . 4 |- ((_V X.k A) e. _V -> `'k(_V X.k A) e. _V)
4	2, 3	syl 15	. . 3 |- (A e. V -> `'k(_V X.k A) e. _V)
5	1, 4	syl5eqelr 2438	. 2 |- (A e. V -> (A X.k _V) e. _V)
6		xpkvexg 4286	. 2 |- (B e. W -> (_V X.k B) e. _V)
7		inxpk 4278	. . . 4 |- ((A X.k _V) i^i (_V X.k B)) = ((A i^i _V) X.k (_V i^i B))
8		inv1 3578	. . . . 5 |- (A i^i _V) = A
9		incom 3449	. . . . . 6 |- (_V i^i B) = (B i^i _V)
10		inv1 3578	. . . . . 6 |- (B i^i _V) = B
11	9, 10	eqtri 2373	. . . . 5 |- (_V i^i B) = B
12	8, 11	xpkeq12i 4204	. . . 4 |- ((A i^i _V) X.k (_V i^i B)) = (A X.k B)
13	7, 12	eqtri 2373	. . 3 |- ((A X.k _V) i^i (_V X.k B)) = (A X.k B)
14		inexg 4101	. . 3 |- (((A X.k _V) e. _V /\ (_V X.k B) e. _V) -> ((A X.k _V) i^i (_V X.k B)) e. _V)
15	13, 14	syl5eqelr 2438	. 2 |- (((A X.k _V) e. _V /\ (_V X.k B) e. _V) -> (A X.k B) e. _V)
16	5, 6, 15	syl2an 463	1 |- ((A e. V /\ B e. W) -> (A X.k B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   i^i cin 3209   X._k cxpk 4175  `'_kccnvk 4176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186  df-cnvk 4187

This theorem is referenced by:  xpkex  4290  uni1exg  4293  imakexg  4300  pw1exg  4303  pwexg  4329