Theorem tfinlefin 4502

Description: Ordering rule for the finite T operation. Theorem X.1.33 of [Rosser] p. 529. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfinlefin	|- ((M e. Nn /\ N e. Nn ) -> (<<M, N>> e. <_fin <-> << Tfin M, Tfin N>> e. <_fin ))

Proof of Theorem tfinlefin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfinltfin 4501	. . . 4 |- ((N e. Nn /\ M e. Nn ) -> (<<N, M>> e. <fin <-> << Tfin N, Tfin M>> e. <fin ))
2	1	ancoms 439	. . 3 |- ((M e. Nn /\ N e. Nn ) -> (<<N, M>> e. <fin <-> << Tfin N, Tfin M>> e. <fin ))
3	2	notbid 285	. 2 |- ((M e. Nn /\ N e. Nn ) -> (-. <<N, M>> e. <fin <-> -. << Tfin N, Tfin M>> e. <fin ))
4		lenltfin 4469	. 2 |- ((M e. Nn /\ N e. Nn ) -> (<<M, N>> e. <_fin <-> -. <<N, M>> e. <fin ))
5		tfincl 4492	. . 3 |- (M e. Nn -> Tfin M e. Nn )
6		tfincl 4492	. . 3 |- (N e. Nn -> Tfin N e. Nn )
7		lenltfin 4469	. . 3 |- (( Tfin M e. Nn /\ Tfin N e. Nn ) -> (<< Tfin M, Tfin N>> e. <_fin <-> -. << Tfin N, Tfin M>> e. <fin ))
8	5, 6, 7	syl2an 463	. 2 |- ((M e. Nn /\ N e. Nn ) -> (<< Tfin M, Tfin N>> e. <_fin <-> -. << Tfin N, Tfin M>> e. <fin ))
9	3, 4, 8	3bitr4d 276	1 |- ((M e. Nn /\ N e. Nn ) -> (<<M, N>> e. <_fin <-> << Tfin M, Tfin N>> e. <_fin ))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   e. wcel 1710  <<copk 4057   Nn cnnc 4373   <__fin clefin 4432   <_fin cltfin 4433   T_fin ctfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-tfin 4443

This theorem is referenced by:  vfintle  4546