Theorem lenltfin 4470

Description: Less than or equal is the same as negated less than. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lenltfin	|- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (<<A, B>> e. <_fin <-> -. <<B, A>> e. <fin ))

Proof of Theorem lenltfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltfinirr 4458	. . . . . 6 |- (A e. Nn -> -. <<A, A>> e. <fin )
2	1	adantr 451	. . . . 5 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> -. <<A, A>> e. <fin )
3	2	adantr 451	. . . 4 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ <<A, B>> e. <_fin ) -> -. <<A, A>> e. <fin )
4		leltfintr 4459	. . . . . 6 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn /\ A e. Nn ) -> ((<<A, B>> e. <_fin /\ <<B, A>> e. <fin ) -> <<A, A>> e. <fin ))
5	4	3anidm13 1240	. . . . 5 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> ((<<A, B>> e. <_fin /\ <<B, A>> e. <fin ) -> <<A, A>> e. <fin ))
6	5	expdimp 426	. . . 4 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ <<A, B>> e. <_fin ) -> (<<B, A>> e. <fin -> <<A, A>> e. <fin ))
7	3, 6	mtod 168	. . 3 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ <<A, B>> e. <_fin ) -> -. <<B, A>> e. <fin )
8	7	ex 423	. 2 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (<<A, B>> e. <_fin -> -. <<B, A>> e. <fin ))
9		nulge 4457	. . . . . 6 |- (((/) e. Nn /\ A e. Nn ) -> <<A, (/)>> e. <_fin )
10	9	ancoms 439	. . . . 5 |- ((A e. Nn /\ (/) e. Nn ) -> <<A, (/)>> e. <_fin )
11		eleq1 2413	. . . . . . 7 |- (B = (/) -> (B e. Nn <-> (/) e. Nn ))
12	11	anbi2d 684	. . . . . 6 |- (B = (/) -> ((A e. Nn /\ B e. Nn ) <-> (A e. Nn /\ (/) e. Nn )))
13		opkeq2 4061	. . . . . . 7 |- (B = (/) -> <<A, B>> = <<A, (/)>>)
14	13	eleq1d 2419	. . . . . 6 |- (B = (/) -> (<<A, B>> e. <_fin <-> <<A, (/)>> e. <_fin ))
15	12, 14	imbi12d 311	. . . . 5 |- (B = (/) -> (((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> <<A, B>> e. <_fin ) <-> ((A e. Nn /\ (/) e. Nn ) -> <<A, (/)>> e. <_fin )))
16	10, 15	mpbiri 224	. . . 4 |- (B = (/) -> ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> <<A, B>> e. <_fin ))
17	16	a1dd 42	. . 3 |- (B = (/) -> ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (-. <<B, A>> e. <fin -> <<A, B>> e. <_fin )))
18		simplr 731	. . . . . . . 8 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> B e. Nn )
19		simpll 730	. . . . . . . 8 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> A e. Nn )
20		simpr 447	. . . . . . . 8 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> B =/= (/))
21		ltfintri 4467	. . . . . . . 8 |- ((B e. Nn /\ A e. Nn /\ B =/= (/)) -> (<<B, A>> e. <fin \/ B = A \/ <<A, B>> e. <fin ))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1182	. . . . . . 7 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> (<<B, A>> e. <fin \/ B = A \/ <<A, B>> e. <fin ))
23		3orass 937	. . . . . . 7 |- ((<<B, A>> e. <fin \/ B = A \/ <<A, B>> e. <fin ) <-> (<<B, A>> e. <fin \/ (B = A \/ <<A, B>> e. <fin )))
24	22, 23	sylib 188	. . . . . 6 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> (<<B, A>> e. <fin \/ (B = A \/ <<A, B>> e. <fin )))
25	24	ord 366	. . . . 5 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> (-. <<B, A>> e. <fin -> (B = A \/ <<A, B>> e. <fin )))
26		lefinrflx 4468	. . . . . . . . 9 |- (A e. Nn -> <<A, A>> e. <_fin )
27	26	adantr 451	. . . . . . . 8 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> <<A, A>> e. <_fin )
28		opkeq2 4061	. . . . . . . . 9 |- (B = A -> <<A, B>> = <<A, A>>)
29	28	eleq1d 2419	. . . . . . . 8 |- (B = A -> (<<A, B>> e. <_fin <-> <<A, A>> e. <_fin ))
30	27, 29	syl5ibrcom 213	. . . . . . 7 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (B = A -> <<A, B>> e. <_fin ))
31	30	adantr 451	. . . . . 6 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> (B = A -> <<A, B>> e. <_fin ))
32		ltlefin 4469	. . . . . . 7 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (<<A, B>> e. <fin -> <<A, B>> e. <_fin ))
33	32	adantr 451	. . . . . 6 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> (<<A, B>> e. <fin -> <<A, B>> e. <_fin ))
34	31, 33	jaod 369	. . . . 5 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> ((B = A \/ <<A, B>> e. <fin ) -> <<A, B>> e. <_fin ))
35	25, 34	syld 40	. . . 4 |- (((A e. Nn /\ B e. Nn ) /\ B =/= (/)) -> (-. <<B, A>> e. <fin -> <<A, B>> e. <_fin ))
36	35	expcom 424	. . 3 |- (B =/= (/) -> ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (-. <<B, A>> e. <fin -> <<A, B>> e. <_fin )))
37	17, 36	pm2.61ine 2593	. 2 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (-. <<B, A>> e. <fin -> <<A, B>> e. <_fin ))
38	8, 37	impbid 183	1 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (<<A, B>> e. <_fin <-> -. <<B, A>> e. <fin ))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   \/ wo 357   /\ wa 358   \/ w3o 933   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2517  (/)c0 3551  <<copk 4058   Nn cnnc 4374   <__fin clefin 4433   <_fin cltfin 4434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-lefin 4441  df-ltfin 4442

This theorem is referenced by:  tfinlefin  4503  vfinspsslem1  4551