NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  lenltfin Unicode version

Theorem lenltfin 4469
Description: Less than or equal is the same as negated less than. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lenltfin Nn Nn <_fin <fin

Proof of Theorem lenltfin
StepHypRef Expression
1 ltfinirr 4457 . . . . . 6 Nn <fin
21adantr 451 . . . . 5 Nn Nn <fin
32adantr 451 . . . 4 Nn Nn <_fin <fin
4 leltfintr 4458 . . . . . 6 Nn Nn Nn <_fin <fin <fin
543anidm13 1240 . . . . 5 Nn Nn <_fin <fin <fin
65expdimp 426 . . . 4 Nn Nn <_fin <fin <fin
73, 6mtod 168 . . 3 Nn Nn <_fin <fin
87ex 423 . 2 Nn Nn <_fin <fin
9 nulge 4456 . . . . . 6 Nn Nn <_fin
109ancoms 439 . . . . 5 Nn Nn <_fin
11 eleq1 2413 . . . . . . 7 Nn Nn
1211anbi2d 684 . . . . . 6 Nn Nn Nn Nn
13 opkeq2 4060 . . . . . . 7
1413eleq1d 2419 . . . . . 6 <_fin <_fin
1512, 14imbi12d 311 . . . . 5 Nn Nn <_fin Nn Nn <_fin
1610, 15mpbiri 224 . . . 4 Nn Nn <_fin
1716a1dd 42 . . 3 Nn Nn <fin <_fin
18 simplr 731 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn
19 simpll 730 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn
20 simpr 447 . . . . . . . 8 Nn Nn
21 ltfintri 4466 . . . . . . . 8 Nn Nn <fin <fin
2218, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . 7 Nn Nn <fin <fin
23 3orass 937 . . . . . . 7 <fin <fin <fin <fin
2422, 23sylib 188 . . . . . 6 Nn Nn <fin <fin
2524ord 366 . . . . 5 Nn Nn <fin <fin
26 lefinrflx 4467 . . . . . . . . 9 Nn <_fin
2726adantr 451 . . . . . . . 8 Nn Nn <_fin
28 opkeq2 4060 . . . . . . . . 9
2928eleq1d 2419 . . . . . . . 8 <_fin <_fin
3027, 29syl5ibrcom 213 . . . . . . 7 Nn Nn <_fin
3130adantr 451 . . . . . 6 Nn Nn <_fin
32 ltlefin 4468 . . . . . . 7 Nn Nn <fin <_fin
3332adantr 451 . . . . . 6 Nn Nn <fin <_fin
3431, 33jaod 369 . . . . 5 Nn Nn <fin <_fin
3525, 34syld 40 . . . 4 Nn Nn <fin <_fin
3635expcom 424 . . 3 Nn Nn <fin <_fin
3717, 36pm2.61ine 2592 . 2 Nn Nn <fin <_fin
388, 37impbid 183 1 Nn Nn <_fin <fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3o 933   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  c0 3550  copk 4057   Nn cnnc 4373   <_fin clefin 4432   <fin cltfin 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-lefin 4440  df-ltfin 4441
This theorem is referenced by:  tfinlefin  4502  vfinspsslem1  4550
  Copyright terms: Public domain W3C validator