Theorem unopab 4639

Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
unopab	|- ({<.x, y>. | ph} u. {<.x, y>. | ps}) = {<.x, y>. | (ph \/ ps)}

Proof of Theorem unopab

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unab 3522	. . 3 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} u. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)}) = {z | (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps))}
2		19.43 1605	. . . . 5 |- (E.x(E.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.y(z = <.x, y>. /\ ps)) <-> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
3		andi 837	. . . . . . . 8 |- ((z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps)) <-> ((z = <.x, y>. /\ ph) \/ (z = <.x, y>. /\ ps)))
4	3	exbii 1582	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps)) <-> E.y((z = <.x, y>. /\ ph) \/ (z = <.x, y>. /\ ps)))
5		19.43 1605	. . . . . . 7 |- (E.y((z = <.x, y>. /\ ph) \/ (z = <.x, y>. /\ ps)) <-> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
6	4, 5	bitr2i 241	. . . . . 6 |- ((E.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.y(z = <.x, y>. /\ ps)) <-> E.y(z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps)))
7	6	exbii 1582	. . . . 5 |- (E.x(E.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.y(z = <.x, y>. /\ ps)) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps)))
8	2, 7	bitr3i 242	. . . 4 |- ((E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps)))
9	8	abbii 2466	. . 3 |- {z | (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) \/ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps))} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps))}
10	1, 9	eqtri 2373	. 2 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} u. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)}) = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps))}
11		df-opab 4624	. . 3 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
12		df-opab 4624	. . 3 |- {<.x, y>. | ps} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)}
13	11, 12	uneq12i 3417	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} u. {<.x, y>. | ps}) = ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} u. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
14		df-opab 4624	. 2 |- {<.x, y>. | (ph \/ ps)} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (ph \/ ps))}
15	10, 13, 14	3eqtr4i 2383	1 |- ({<.x, y>. | ph} u. {<.x, y>. | ps}) = {<.x, y>. | (ph \/ ps)}

Syntax hints:   \/ wo 357   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642  {cab 2339   u. cun 3208  <.cop 4562  {copab 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-un 3215  df-opab 4624

This theorem is referenced by:  xpundi  4833  xpundir  4834  cnvun  5034  coundi  5083  coundir  5084