Theorem oagen1b 1015

Description: "Generalized" OA. (Contributed by NM, 21-Nov-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
oagen1b.1	d ≤ (a →2 b)
oagen1b.2	e ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))

Assertion

Ref	Expression
oagen1b	(d ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (d ∩ (a →2 c))

Proof of Theorem oagen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oagen1b.2	. . . 4 e ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
2	1	oagen1 1014	. . 3 ((a →2 b) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
3	2	lan 77	. 2 (d ∩ ((a →2 b) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = (d ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
4		anass 76	. . . 4 ((d ∩ (a →2 b)) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (d ∩ ((a →2 b) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
5	4	ax-r1 35	. . 3 (d ∩ ((a →2 b) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((d ∩ (a →2 b)) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
6		oagen1b.1	. . . . 5 d ≤ (a →2 b)
7	6	df2le2 136	. . . 4 (d ∩ (a →2 b)) = d
8	7	ran 78	. . 3 ((d ∩ (a →2 b)) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (d ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
9	5, 8	ax-r2 36	. 2 (d ∩ ((a →2 b) ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = (d ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
10		anass 76	. . . 4 ((d ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = (d ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
11	10	ax-r1 35	. . 3 (d ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((d ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c))
12	7	ran 78	. . 3 ((d ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = (d ∩ (a →2 c))
13	11, 12	ax-r2 36	. 2 (d ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = (d ∩ (a →2 c))
14	3, 9, 13	3tr2 64	1 (d ∩ (e ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (d ∩ (a →2 c))

Syntax hints:   = wb 1   ≤ wle 2   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₀ wi0 11   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-3oa 998

This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i0 43  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131

This theorem is referenced by:  oadistd  1023