ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0npr Unicode version

Theorem 0npr 6735
Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
0npr  |-  -.  (/)  e.  P.

Proof of Theorem 0npr
StepHypRef Expression
1 noel 3262 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
2 1st0 5802 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  (/) )  =  (/)
32eleq2i 2146 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1st `  (/) )  <->  x  e.  (/) )
41, 3mtbir 629 . . . . 5  |-  -.  x  e.  ( 1st `  (/) )
54nex 1430 . . . 4  |-  -.  E. x  x  e.  ( 1st `  (/) )
6 rexex 2411 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) )  ->  E. x  x  e.  ( 1st `  (/) ) )
75, 6mto 621 . . 3  |-  -.  E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) )
8 prml 6729 . . 3  |-  ( <.
( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) ) )
97, 8mto 621 . 2  |-  -.  <. ( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P.
10 prop 6727 . 2  |-  ( (/)  e.  P.  ->  <. ( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P. )
119, 10mto 621 1  |-  -.  (/)  e.  P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1422    e. wcel 1434   E.wrex 2350   (/)c0 3258   <.cop 3409   ` cfv 4932   1stc1st 5796   2ndc2nd 5797   Q.cnq 6532   P.cnp 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-qs 6178  df-ni 6556  df-nqqs 6600  df-inp 6718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator