Theorem elprnqu 6734

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 6732	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3000	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   <.cop 3409   Q.cnq 6532   P.cnp 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-qs 6178  df-ni 6556  df-nqqs 6600  df-inp 6718

This theorem is referenced by:  prltlu  6739  prnminu  6741  genpdf  6760  genipv  6761  genpelvu  6765  genpmu  6770  genprndu  6774  genpassu  6777  addnqprulem  6780  addnqpru  6782  addlocprlemeqgt  6784  nqpru  6804  prmuloc  6818  mulnqpru  6821  addcomprg  6830  mulcomprg  6832  distrlem1pru  6835  distrlem4pru  6837  1idpru  6843  ltsopr  6848  ltaddpr  6849  ltexprlemm  6852  ltexprlemopl  6853  ltexprlemlol  6854  ltexprlemopu  6855  ltexprlemdisj  6858  ltexprlemloc  6859  ltexprlemfu  6863  ltexprlemru  6864  addcanprlemu  6867  prplnqu  6872  recexprlemloc  6883  recexprlemss1u  6888  aptiprlemu  6892