Theorem 0npr 7294

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	⊢ ¬ ∅ ∈ P

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3367	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2		1st0 6042	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘∅) = ∅
3	2	eleq2i 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1st ‘∅) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 660	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
5	4	nex 1476	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
6		rexex 2479	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
7	5, 6	mto 651	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
8		prml 7288	. . 3 ⊢ (⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
9	7, 8	mto 651	. 2 ⊢ ¬ ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P
10		prop 7286	. 2 ⊢ (∅ ∈ P → ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P)
11	9, 10	mto 651	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ P

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417  ∅c0 3363  ⟨cop 3530  ‘cfv 5123  1^st c1st 6036  2^nd c2nd 6037  Qcnq 7091  Pcnp 7102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-qs 6435  df-ni 7115  df-nqqs 7159  df-inp 7277

This theorem is referenced by: (None)