ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0npr GIF version

Theorem 0npr 6638
Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
0npr ¬ ∅ ∈ P

Proof of Theorem 0npr
StepHypRef Expression
1 noel 3255 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ ∅
2 1st0 5798 . . . . . . 7 (1st ‘∅) = ∅
32eleq2i 2120 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1st ‘∅) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
41, 3mtbir 606 . . . . 5 ¬ 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
54nex 1405 . . . 4 ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
6 rexex 2385 . . . 4 (∃𝑥Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
75, 6mto 598 . . 3 ¬ ∃𝑥Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
8 prml 6632 . . 3 (⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P → ∃𝑥Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
97, 8mto 598 . 2 ¬ ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P
10 prop 6630 . 2 (∅ ∈ P → ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P)
119, 10mto 598 1 ¬ ∅ ∈ P
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wex 1397  wcel 1409  wrex 2324  c0 3251  cop 3405  cfv 4929  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435  Pcnp 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-qs 6142  df-ni 6459  df-nqqs 6503  df-inp 6621
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator