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Theorem prcdnql 6736
Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcdnql  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) )

Proof of Theorem prcdnql
Dummy variables  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6617 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4418 . . . . 5  |-  ( C 
<Q  B  ->  ( C  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simpld 110 . . . 4  |-  ( C 
<Q  B  ->  C  e. 
Q. )
43adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  <Q  B )  ->  C  e.  Q. )
5 breq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
c  <Q  B  <->  C  <Q  B ) )
6 eleq1 2142 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  L  <->  C  e.  L ) )
75, 6imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( c  <Q  B  -> 
c  e.  L )  <-> 
( C  <Q  B  ->  C  e.  L )
) )
87imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  ->  ( c  <Q  B  -> 
c  e.  L ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) ) ) )
91brel 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( c  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
109ancomd 263 . . . . . . . 8  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( B  e.  Q.  /\  c  e.  Q. ) )
11 an42 552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Q.  /\  c  e.  Q. )  /\  ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  <-> 
( ( B  e. 
Q.  /\  B  e.  L )  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  c  e.  Q. ) ) )
12 breq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  (
c  <Q  b  <->  c  <Q  B ) )
13 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  L  <->  B  e.  L ) )
1412, 13anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  (
( c  <Q  b  /\  b  e.  L
)  <->  ( c  <Q  B  /\  B  e.  L
) ) )
1514rspcev 2702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  ( c  <Q  B  /\  B  e.  L )
)  ->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  b  e.  L ) )
16 elinp 6726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U ) )  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  b  e.  L
) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) ) )
17 simpr1l 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U )
)  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  b  e.  L ) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) )  ->  A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  b  e.  L
) ) )
1816, 17sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  b  e.  L ) ) )
1918r19.21bi 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  c  e.  Q. )  ->  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  b  e.  L ) ) )
2015, 19syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  ( c  <Q  B  /\  B  e.  L )
)  ->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) )
21203impb 1135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  c  <Q  B  /\  B  e.  L )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) )
22213com12 1143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  <Q  B  /\  B  e.  Q.  /\  B  e.  L )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) )
23223expib 1142 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( B  e.  Q.  /\  B  e.  L )  ->  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) ) )
2423impd 251 . . . . . . . . 9  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( ( B  e.  Q.  /\  B  e.  L )  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )
)  ->  c  e.  L ) )
2511, 24syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( ( B  e.  Q.  /\  c  e.  Q. )  /\  ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  ->  c  e.  L
) )
2610, 25mpand 420 . . . . . . 7  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  c  e.  L ) )
2726com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  (
c  <Q  B  ->  c  e.  L ) )
2827ancoms 264 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  (
c  <Q  B  ->  c  e.  L ) )
298, 28vtoclg 2659 . . . 4  |-  ( C  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) ) )
3029impd 251 . . 3  |-  ( C  e.  Q.  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  <Q  B )  ->  C  e.  L
) )
314, 30mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  <Q  B )  ->  C  e.  L )
3231ex 113 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350    C_ wss 2974   <.cop 3409   class class class wbr 3793   Q.cnq 6532    <Q cltq 6537   P.cnp 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-qs 6178  df-ni 6556  df-nqqs 6600  df-ltnqqs 6605  df-inp 6718
This theorem is referenced by:  prubl  6738  addnqprllem  6779  nqprl  6803  mulnqprl  6820  distrlem4prl  6836  ltprordil  6841  1idprl  6842  ltpopr  6847  ltaddpr  6849  ltexprlemlol  6854  ltexprlemfl  6861  ltexprlemrl  6862  aptiprleml  6891  aptiprlemu  6892  archrecpr  6916  caucvgprprlemml  6946
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