Theorem abexssex 6023

Description: Existence of a class abstraction with an existentially quantified expression. Both x and y can be free in ph. (Contributed by NM, 29-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abexssex	|- { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abexssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2422	. . . 4 |- ( E. x e. ~P A ph <-> E. x ( x e. ~P A /\ ph ) )
2		velpw 3517	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
3	2	anbi1i 453	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P A /\ ph ) <-> ( x C_ A /\ ph ) )
4	3	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. x ( x e. ~P A /\ ph ) <-> E. x ( x C_ A /\ ph ) )
5	1, 4	bitri 183	. . 3 |- ( E. x e. ~P A ph <-> E. x ( x C_ A /\ ph ) )
6	5	abbii 2255	. 2 |- { y | E. x e. ~P A ph } = { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) }
7		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
8	7	pwex 4107	. . 3 |- ~P A e. _V
9		abrexex2.2	. . 3 |- { y | ph } e. _V
10	8, 9	abrexex2 6022	. 2 |- { y | E. x e. ~P A ph } e. _V
11	6, 10	eqeltrri 2213	1 |- { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131

This theorem is referenced by: (None)