Theorem divcnv 11266

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor A, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	|- ( A e. CC -> ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem divcnv

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> A e. CC )
2	1	abscld 10953	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` A ) e. RR )
3		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
4	2, 3	rerpdivcld 9515	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) / x ) e. RR )
5		arch 8974	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) / x ) e. RR -> E. j e. NN ( ( abs ` A ) / x ) < j )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN ( ( abs ` A ) / x ) < j )
7	1	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. CC )
8		eluzelz 9335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. ZZ )
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ZZ )
10	9	zcnd 9174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. CC )
11	9	zred 9173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
12		0red 7767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 e. RR )
13		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
14	13	nnred 8733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
15	13	nngt0d 8764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < j )
16		eluzle 9338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
18	12, 14, 11, 15, 17	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < k )
19	11, 18	gt0ap0d 8391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k # 0 )
20	7, 10, 19	absdivapd 10967	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( A / k ) ) = ( ( abs ` A ) / ( abs ` k ) ) )
21	12, 11, 18	ltled 7881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ k )
22	11, 21	absidd 10939	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` k ) = k )
23	22	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( abs ` k ) ) = ( ( abs ` A ) / k ) )
24	20, 23	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( A / k ) ) = ( ( abs ` A ) / k ) )
25	2	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
26	3	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR+ )
27	11, 18	elrpd 9481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR+ )
28	4	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / x ) e. RR )
29		simplr 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / x ) < j )
30	28, 14, 11, 29, 17	ltletrd 8185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / x ) < k )
31	25, 26, 27, 30	ltdiv23d 9544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / k ) < x )
32	24, 31	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( A / k ) ) < x )
33	32	ralrimiva 2505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x )
34	33	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( abs ` A ) / x ) < j -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x ) )
35	34	reximdva 2534	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. NN ( ( abs ` A ) / x ) < j -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x ) )
36	6, 35	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x )
37	36	ralrimiva 2505	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x )
38		nnuz 9361	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
39		1zzd 9081	. . 3 |- ( A e. CC -> 1 e. ZZ )
40		nnex 8726	. . . . 5 |- NN e. _V
41	40	mptex 5646	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( A / n ) ) e. _V
42	41	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( n e. NN |-> ( A / n ) ) e. _V )
43		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> k e. NN )
44		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> A e. CC )
45	43	nncnd 8734	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> k e. CC )
46	43	nnap0d 8766	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> k # 0 )
47	44, 45, 46	divclapd 8550	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> ( A / k ) e. CC )
48		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( n = k -> ( A / n ) = ( A / k ) )
49		eqid 2139	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( A / n ) ) = ( n e. NN |-> ( A / n ) )
50	48, 49	fvmptg 5497	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( A / k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ` k ) = ( A / k ) )
51	43, 47, 50	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ` k ) = ( A / k ) )
52	38, 39, 42, 51, 47	clim0c 11055	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x ) )
53	37, 52	mpbird 166	1 |- ( A e. CC -> ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   < clt 7800   <_ cle 7801   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   abscabs 10769   ~~> cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  trireciplem  11269  expcnvap0  11271