Theorem axcnex 7667

Description: The complex numbers form a set. Use cnex 7744 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	|- CC e. _V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7626	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		df-nr 7535	. . . 4 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 7281	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4654	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	pwex 4107	. . . . 5 |- ~P ( P. X. P. ) e. _V
6		enrer 7543	. . . . . . . 8 |- ~R Er ( P. X. P. )
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> ~R Er ( P. X. P. ) )
8	7	qsss 6488	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( P. X. P. ) /. ~R ) C_ ~P ( P. X. P. ) )
9	8	mptru 1340	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) C_ ~P ( P. X. P. )
10	5, 9	ssexi 4066	. . . 4 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
11	2, 10	eqeltri 2212	. . 3 |- R. e. _V
12	11, 11	xpex 4654	. 2 |- ( R. X. R. ) e. _V
13	1, 12	eqeltri 2212	1 |- CC e. _V

Syntax hints:   T. wtru 1332   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   X. cxp 4537   Er wer 6426   /.cqs 6428   P.cnp 7099   ~R cer 7104   R.cnr 7105   CCcc 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-iplp 7276  df-enr 7534  df-nr 7535  df-c 7626

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  7700