Theorem bdtri 11011

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1005	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. RR )
2		simp2l 1007	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. RR )
3	1, 2	readdcld 7795	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. RR )
4		simp3 983	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR+ )
5	4	rpred 9483	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. RR )
6	3, 5	readdcld 7795	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. RR )
7	1	recnd 7794	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> A e. CC )
8	2	recnd 7794	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> B e. CC )
9	7, 8	addcld 7785	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + B ) e. CC )
10	5	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> C e. CC )
11	9, 10	subcld 8073	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) - C ) e. CC )
12	11	abscld 10953	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
13	6, 12	resubcld 8143	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
14	1, 5	readdcld 7795	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. RR )
15	7, 10	subcld 8073	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A - C ) e. CC )
16	15	abscld 10953	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. RR )
17	14, 16	resubcld 8143	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. RR )
18	2, 5	readdcld 7795	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. RR )
19	8, 10	subcld 8073	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B - C ) e. CC )
20	19	abscld 10953	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. RR )
21	18, 20	resubcld 8143	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
22	17, 21	readdcld 7795	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
23		2rp 9446	. . . 4 |- 2 e. RR+
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. RR+ )
25	12	renegcld 8142	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. RR )
26	16, 20	readdcld 7795	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. RR )
27	5, 26	resubcld 8143	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) e. RR )
28	16	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( A - C ) ) e. CC )
29	20	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( B - C ) ) e. CC )
30	28, 29	addcld 7785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
31	12	recnd 7794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) e. CC )
32	30, 31, 30	sub32d 8105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
33	30	subidd 8061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 5789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
35	32, 34	eqtrd 2172	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
36		df-neg 7936	. . . . . . 7 |- -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) = ( 0 - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
37	35, 36	syl6eqr 2190	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) )
38	26, 12	resubcld 8143	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) e. RR )
39		bdtrilem 11010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
40	26, 12, 5	lesubaddd 8304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) <_ ( C + ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) ) )
41	39, 40	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ C )
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8323	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
43	37, 42	eqbrtrrd 3952	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) <_ ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8322	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
45	9, 10	addcld 7785	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + C ) e. CC )
46	45, 31	negsubd 8079	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + -u ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) )
47	9, 10, 10	addassd 7788	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
48	7, 8, 10, 10	add4d 7931	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
49	47, 48	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + C ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
50	49	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
51	45, 10, 30	addsubassd 8093	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) + C ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) )
52	7, 10	addcld 7785	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A + C ) e. CC )
53	8, 10	addcld 7785	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( B + C ) e. CC )
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8120	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + C ) + ( B + C ) ) - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2180	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) + ( C - ( ( abs ` ( A - C ) ) + ( abs ` ( B - C ) ) ) ) ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
56	44, 46, 55	3brtr3d 3959	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) <_ ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) )
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 9542	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) <_ ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
58		minabs 11007	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
59	3, 5, 58	syl2anc 408	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) = ( ( ( ( A + B ) + C ) - ( abs ` ( ( A + B ) - C ) ) ) / 2 ) )
60		minabs 11007	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
61	1, 5, 60	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) = ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) )
62		minabs 11007	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
63	2, 5, 62	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) )
64	61, 63	oveq12d 5792	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
65	52, 28	subcld 8073	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) e. CC )
66	53, 29	subcld 8073	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) e. CC )
67		2cnd 8793	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 e. CC )
68		2ap0 8813	. . . . 5 |- 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> 2 # 0 )
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 8589	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) / 2 ) + ( ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) / 2 ) ) )
71	64, 70	eqtr4d 2175	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) = ( ( ( ( A + C ) - ( abs ` ( A - C ) ) ) + ( ( B + C ) - ( abs ` ( B - C ) ) ) ) / 2 ) )
72	57, 59, 71	3brtr4d 3960	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cpr 3528   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   -ucneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432   2c2 8771   RR+crp 9441   abscabs 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11045