Theorem copsexg 4166

Description: Substitution of class A for ordered pair <. x , y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	|- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
2		vex 2689	. . . 4 |- y e. _V
3	1, 2	eqvinop 4165	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) )
4		19.8a 1569	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
5	4	19.23bi 1571	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
6	5	ex 114	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
7		vex 2689	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
8		vex 2689	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
9	7, 8	opth 4159	. . . . . . . 8 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. <-> ( z = x /\ w = y ) )
10	9	anbi1i 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
11	10	2exbii 1585	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
12		nfe1 1472	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) )
13		dveeq2or 1788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = x \/ F/ y z = x )
14		nfae 1697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y A. y y = x
15		anass 398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
16		19.8a 1569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w = y /\ ph ) -> E. y ( w = y /\ ph ) )
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y y = x -> ( ( w = y /\ ph ) -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
18	17	anim2d 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y y = x -> ( ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
19	15, 18	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y y = x -> ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
20	14, 19	eximd 1591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
21		biidd 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y y = x -> ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
22	21	drex1 1770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
23	20, 22	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
24	15	exbii 1584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
25		19.40 1610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
26		19.9t 1621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F/ y z = x -> ( E. y z = x <-> z = x ) )
27	26	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F/ y z = x -> ( E. y z = x -> z = x ) )
28	27	anim1d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F/ y z = x -> ( ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
29	25, 28	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F/ y z = x -> ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
30	24, 29	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F/ y z = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
31		19.8a 1569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
32	30, 31	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F/ y z = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
33	23, 32	jaoi 705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y y = x \/ F/ y z = x ) -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
35	12, 34	exlimi 1573	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
36		euequ1 2094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! x x = z
37		equcom 1682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z <-> z = x )
38	37	eubii 2008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! x x = z <-> E! x z = x )
39	36, 38	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! x z = x
40		eupick 2078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! x z = x /\ E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
41	39, 40	mpan 420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
42	41	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
43		euequ1 2094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! y y = w
44		equcom 1682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w <-> w = y )
45	44	eubii 2008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! y y = w <-> E! y w = y )
46	43, 45	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! y w = y
47		eupick 2078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! y w = y /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( w = y -> ph ) )
48	46, 47	mpan 420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ( w = y -> ph ) )
49	48	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ph ) )
50	42, 49	sylan9 406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ph ) )
51	35, 50	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ph ) )
52	11, 51	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
53	9, 52	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
54	6, 53	impbid 128	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
55		eqeq1 2146	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. <-> <. z , w >. = <. x , y >. ) )
56	55	anbi1d 460	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
57	56	2exbidv 1840	. . . . . . . 8 |- ( A = <. z , w >. -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
58	57	bibi2d 231	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
59	55, 58	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) ) )
60	54, 59	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
61	60	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
62	61	exlimivv 1868	. . 3 |- ( E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
63	3, 62	sylbi 120	. 2 |- ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
64	63	pm2.43i 49	1 |- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   = wceq 1331   F/wnf 1436   E.wex 1468   E!weu 1999   <.cop 3530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536

This theorem is referenced by:  copsex2t  4167  copsex2g  4168  opabid  4179  mosubopt  4604