Theorem dfss3 3087

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	|- ( A C_ B <-> A. x e. A x e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3086	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2		df-ral 2421	. 2 |- ( A. x e. A x e. B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
3	1, 2	bitr4i 186	1 |- ( A C_ B <-> A. x e. A x e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-ral 2421  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  ssrab  3175  eqsnm  3682  uni0b  3761  uni0c  3762  ssint  3787  ssiinf  3862  sspwuni  3897  dftr3  4030  tfis  4497  rninxp  4982  fnres  5239  eqfnfv3  5520  funimass3  5536  ffvresb  5583  tfrlemibxssdm  6224  tfr1onlembxssdm  6240  tfrcllembxssdm  6253  suplocsr  7617  isbasis2g  12212  tgval2  12220  eltg2b  12223  tgss2  12248  basgen2  12250  bastop1  12252  unicld  12285  neipsm  12323  ssidcn  12379  bdss  13062