Theorem exmidsbthrlem 13217

Description: Lemma for exmidsbthr 13218. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmidsbthrlem.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthrlem	|- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Distinct variable groups:   S, i   i, p   x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem

Dummy variables a b k z f u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) )
2		nninfex 13205	. . . . . . . . . 10 |- ℕ∞ e. _V
3		fconstmpt 4586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) = ( i e. om |-> (/) )
4		0nninf 13197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞
5	3, 4	eqeltrri 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. om |-> (/) ) e. ℕ∞
6	5	fconst6 5322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ )
8		ssel 3091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u e. { (/) } ) )
9		elsni 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. { (/) } -> u = (/) )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u = (/) ) )
11		ssel 3091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v e. { (/) } ) )
12		elsni 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. { (/) } -> v = (/) )
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v = (/) ) )
14	10, 13	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> ( u = (/) /\ v = (/) ) ) )
15		eqtr3 2159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = (/) /\ v = (/) ) -> u = v )
16	14, 15	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> u = v ) )
17	16	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> u = v )
18	17	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
19	18	ralrimivva 2514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
20		dff13 5669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ <-> ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ /\ A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) ) )
21	7, 19, 20	sylanbrc 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ )
22		exmidsbthrlem.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
23	22	peano4nninf 13200	. . . . . . . . . . . 12 |- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ )
25		disj 3411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) <-> A. a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -. a e. ran S )
26	22	peano3nninf 13201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) )
27		eqidd 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> (/) = (/) )
28	27	cbvmptv 4024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. om |-> (/) ) = ( i e. om |-> (/) )
29	28	neeq2i 2324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) <-> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
30	26, 29	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
31	30	neneqd 2329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ℕ∞ -> -. ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
32	31	nrex 2524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) )
33		f1dm 5333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ -> dom S = ℕ∞ )
34	23, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom S = ℕ∞
35		eqcom 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
36	34, 35	rexeqbii 2448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
37	32, 36	mtbir 660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b )
38	22	funmpt2 5162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun S
39		elrnrexdm 5559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun S -> ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) )
41	37, 40	mto 651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( i e. om |-> (/) ) e. ran S
42		rnxpss 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) C_ { ( i e. om |-> (/) ) }
43	42	sseli 3093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a e. { ( i e. om |-> (/) ) } )
44		elsni 3545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { ( i e. om |-> (/) ) } -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
46	45	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> ( a e. ran S <-> ( i e. om |-> (/) ) e. ran S ) )
47	41, 46	mtbiri 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> -. a e. ran S )
48	25, 47	mprgbir 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/)
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) )
50	21, 24, 49	casef1 6975	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ { (/) } -> case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ )
51		f1domg 6652	. . . . . . . . . 10 |- (ℕ∞ e. _V -> (case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
52	2, 50, 51	mpsyl 65	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
53	52	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
54		inrresf1 6947	. . . . . . . . 9 |- (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ )
55		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
56		djuex 6928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V )
57	55, 2, 56	mp2an 422	. . . . . . . . . 10 |- ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V
58	57	f1dom 6654	. . . . . . . . 9 |- ( (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) )
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ )
60	53, 59	jctir 311	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
61		breq12 3934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~<_ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
62		breq12 3934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = ℕ∞ /\ x = ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
63	62	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
64	61, 63	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) <-> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) ) )
65		breq12 3934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~~ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
66	64, 65	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) <-> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
67	66	spc2gv 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
68	57, 2, 67	mp2an 422	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
69	1, 60, 68	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ )
70		bren 6641	. . . . . 6 |- ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ <-> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
71	69, 70	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
72		nninfomni 13215	. . . . . . . . 9 |- ℕ∞ e. Omni
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ℕ∞ e. Omni )
74		f1ocnv 5380	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
75		f1ofo 5374	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
77	76	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
78	73, 77	fodjuomni 7021	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z \/ z = (/) ) )
79		sssnm 3681	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. z -> ( z C_ { (/) } <-> z = { (/) } ) )
80	79	biimpcd 158	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
81	80	ad2antlr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
82	81	orim1d 776	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( ( E. w w e. z \/ z = (/) ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) ) )
83	78, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) )
84	83	orcomd 718	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
85	71, 84	exlimddv 1870	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
86	85	ex 114	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
87	86	alrimiv 1846	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
88		exmid01 4121	. 2 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
89	87, 88	sylibr 133	1 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   U.cuni 3736   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989  EXMIDwem 4118   omcom 4504   X. cxp 4537   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540   |` cres 4541   Fun wfun 5117   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123   1oc1o 6306   ~~ cen 6632   ~<_ cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inrcinr 6931  casecdjucase 6968  Omnicomni 7004  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-exmid 4119  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-en 6635  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-omni 7006  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  exmidsbthr  13218