ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxr Unicode version

Theorem elxr 9518
Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
elxr  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )

Proof of Theorem elxr
StepHypRef Expression
1 df-xr 7772 . . 3  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
21eleq2i 2184 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  A  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } ) )
3 elun 3187 . 2  |-  ( A  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo }
)  <->  ( A  e.  RR  \/  A  e. 
{ +oo , -oo }
) )
4 pnfex 7787 . . . . 5  |- +oo  e.  _V
5 mnfxr 7790 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
65elexi 2672 . . . . 5  |- -oo  e.  _V
74, 6elpr2 3519 . . . 4  |-  ( A  e.  { +oo , -oo }  <->  ( A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
87orbi2i 736 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  e.  { +oo , -oo } )  <->  ( A  e.  RR  \/  ( A  = +oo  \/  A  = -oo ) ) )
9 3orass 950 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  ( A  = +oo  \/  A  = -oo ) ) )
108, 9bitr4i 186 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  e.  { +oo , -oo } )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
112, 3, 103bitri 205 1  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    \/ wo 682    \/ w3o 946    = wceq 1316    e. wcel 1465    u. cun 3039   {cpr 3498   RRcr 7587   +oocpnf 7765   -oocmnf 7766   RR*cxr 7767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-un 4325  ax-cnex 7679
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772
This theorem is referenced by:  xrnemnf  9519  xrnepnf  9520  xrltnr  9521  xrltnsym  9534  xrlttr  9536  xrltso  9537  xrlttri3  9538  nltpnft  9552  npnflt  9553  ngtmnft  9555  nmnfgt  9556  xrrebnd  9557  xnegcl  9570  xnegneg  9571  xltnegi  9573  xrpnfdc  9580  xrmnfdc  9581  xnegid  9597  xaddcom  9599  xaddid1  9600  xnegdi  9606  xleadd1a  9611  xltadd1  9614  xlt2add  9618  xsubge0  9619  xposdif  9620  xleaddadd  9625  qbtwnxr  9990  xrmaxiflemcl  10969  xrmaxifle  10970  xrmaxiflemab  10971  xrmaxiflemlub  10972  xrmaxltsup  10982  xrmaxadd  10985  xrbdtri  11000  isxmet2d  12428  blssioo  12625
  Copyright terms: Public domain W3C validator