ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2other2 Unicode version

Theorem en2other2 6574
Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2other2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  X )

Proof of Theorem en2other2
StepHypRef Expression
1 en2eleq 6573 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } )
2 prcom 3486 . . . . . . 7  |-  { X ,  U. ( P  \  { X } ) }  =  { U. ( P  \  { X }
) ,  X }
31, 2syl6eq 2131 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { U. ( P  \  { X }
) ,  X }
)
43difeq1d 3099 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  ( { U. ( P  \  { X } ) ,  X }  \  { U. ( P  \  { X }
) } ) )
5 difprsnss 3543 . . . . 5  |-  ( { U. ( P  \  { X } ) ,  X }  \  { U. ( P  \  { X } ) } ) 
C_  { X }
64, 5syl6eqss 3058 . . . 4  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } ) 
C_  { X }
)
7 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  e.  P )
8 1onn 6180 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  om
98a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  1o  e.  om )
10 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  2o )
11 df-2o 6086 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
1210, 11syl6breq 3844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  suc  1o )
13 dif1en 6435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  P  ~~  suc  1o  /\  X  e.  P )  ->  ( P  \  { X } )  ~~  1o )
149, 12, 7, 13syl3anc 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { X } )  ~~  1o )
15 en1uniel 6372 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  \  { X } )  ~~  1o  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } ) )
16 eldifsni 3537 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } )  ->  U. ( P  \  { X }
)  =/=  X )
1714, 15, 163syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  =/=  X
)
1817necomd 2335 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  =/=  U. ( P 
\  { X }
) )
19 eldifsn 3535 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  <->  ( X  e.  P  /\  X  =/=  U. ( P  \  { X } ) ) )
207, 18, 19sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  e.  ( P  \  { U. ( P 
\  { X }
) } ) )
2120snssd 3550 . . . 4  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  { X }  C_  ( P  \  { U. ( P  \  { X }
) } ) )
226, 21eqssd 3025 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  { X }
)
2322unieqd 3632 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  U. { X } )
24 unisng 3638 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  U. { X }  =  X
)
2524adantr 270 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. { X }  =  X )
2623, 25eqtrd 2115 1  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { U. ( P  \  { X } ) } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249    \ cdif 2979   {csn 3416   {cpr 3417   U.cuni 3621   class class class wbr 3805   suc csuc 4148   omcom 4359   1oc1o 6078   2oc2o 6079    ~~ cen 6306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6085  df-2o 6086  df-er 6193  df-en 6309  df-fin 6311
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator