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Theorem exfzdc 9378
Description: Decidability of the existence of an integer defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exfzdc.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
exfzdc.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
exfzdc.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
exfzdc  |-  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
Distinct variable groups:    n, M    n, N    ph, n
Allowed substitution hint:    ps( n)

Proof of Theorem exfzdc
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exfzdc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 exfzdc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3 eluz 8765 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
41, 2, 3syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
54biimpar 291 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 simpl 107 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  ph )
7 eluzfz2 9179 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  M  ->  ( M ... w )  =  ( M ... M
) )
98rexeqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
109dcbid 782 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
1110imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) ) )
12 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( M ... w )  =  ( M ... y
) )
1312rexeqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) )
1413dcbid 782 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) )
1514imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps ) ) )
16 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( M ... w )  =  ( M ... (
y  +  1 ) ) )
1716rexeqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) )
1817dcbid 782 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) )
1918imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
20 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  N  ->  ( M ... w )  =  ( M ... N
) )
2120rexeqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( E. n  e.  ( M ... w ) ps  <->  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
2221dcbid 782 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
2322imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... w ) ps )  <->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) ) )
24 eluzfz1 9178 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
2524adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
26 exfzdc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ps )
2726ralrimiva 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps )
2827adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. n  e.  ( M ... N
)DECID 
ps )
29 nfsbc1v 2842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [. M  /  n ]. ps
3029nfdc 1590 . . . . . . . . 9  |-  F/ nDECID  [. M  /  n ]. ps
31 sbceq1a 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<-> 
[. M  /  n ]. ps ) )
3231dcbid 782 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. M  /  n ]. ps )
)
3330, 32rspc 2704 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps  -> DECID  [. M  /  n ]. ps )
)
3425, 28, 33sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  [. M  /  n ]. ps )
351adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
36 fzsn 9212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3837rexeqdv 2561 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. n  e.  ( M ... M ) ps  <->  E. n  e.  { M } ps ) )
39 rexsns 3450 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  { M } ps  <->  [. M  /  n ]. ps )
4038, 39syl6bb 194 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. n  e.  ( M ... M ) ps  <->  [. M  /  n ]. ps ) )
4140dcbid 782 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... M
) ps  <-> DECID  [. M  /  n ]. ps ) )
4234, 41mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps )
4342expcom 114 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... M ) ps ) )
44 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )
45 fzofzp1 9365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
4645ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
4727ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  A. n  e.  ( M ... N
)DECID 
ps )
48 nfsbc1v 2842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps
4948nfdc 1590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ nDECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps
50 sbceq1a 2833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5150dcbid 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5249, 51rspc 2704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. n  e.  ( M ... N )DECID  ps  -> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5346, 47, 52sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps )
54 rexsns 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps  <->  [. ( y  +  1 )  /  n ]. ps )
5554dcbii 781 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps  <-> DECID  [. (
y  +  1 )  /  n ]. ps )
5653, 55sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  {
( y  +  1 ) } ps )
57 dcor 877 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  E. n  e.  ( M ... y
) ps  ->  (DECID  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps  -> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y
) ps  \/  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps ) ) )
5844, 56, 57sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y
) ps  \/  E. n  e.  { (
y  +  1 ) } ps ) )
59 rexun 3162 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps  <->  ( E. n  e.  ( M ... y ) ps  \/  E. n  e.  { ( y  +  1 ) } ps ) )
6059dcbii 781 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) ps  <-> DECID  ( E. n  e.  ( M ... y ) ps  \/  E. n  e. 
{ ( y  +  1 ) } ps ) )
6158, 60sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps )
62 elfzouz 9290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6362ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64 fzsuc 9214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( M ... ( y  +  1 ) )  =  ( ( M ... y )  u.  {
( y  +  1 ) } ) )
6665rexeqdv 2561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps  <->  E. n  e.  ( ( M ... y )  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps ) )
6766dcbid 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  (DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps  <-> DECID  E. n  e.  ( ( M ... y
)  u.  { ( y  +  1 ) } ) ps )
)
6861, 67mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  ph )  /\ DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps )
6968exp31 356 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  (DECID 
E. n  e.  ( M ... y ) ps  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
7069a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... y ) ps )  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... ( y  +  1 ) ) ps ) ) )
7111, 15, 19, 23, 43, 70fzind2 9377 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
727, 71syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
735, 6, 72sylc 61 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
74 rex0 3281 . . . . 5  |-  -.  E. n  e.  (/)  ps
75 zltnle 8530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
762, 1, 75syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
7776biimpar 291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  N  <  M )
78 fzn 9189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
791, 2, 78syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
8079adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
8177, 80mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
8281rexeqdv 2561 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  <->  E. n  e.  (/)  ps )
)
8374, 82mtbiri 633 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  -.  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
8483olcd 686 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  ->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  \/  -.  E. n  e.  ( M ... N
) ps ) )
85 df-dc 777 . . 3  |-  (DECID  E. n  e.  ( M ... N
) ps  <->  ( E. n  e.  ( M ... N ) ps  \/  -.  E. n  e.  ( M ... N ) ps ) )
8684, 85sylibr 132 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  <_  N )  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
87 zdcle 8557 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  N )
88 exmiddc 778 . . . 4  |-  (DECID  M  <_  N  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N ) )
8987, 88syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
901, 2, 89syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
9173, 86, 90mpjaodan 745 1  |-  ( ph  -> DECID  E. n  e.  ( M ... N ) ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   [.wsbc 2824    u. cun 2980   (/)c0 3267   {csn 3416   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   1c1 7096    + caddc 7098    < clt 7267    <_ cle 7268   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   ...cfz 9157  ..^cfzo 9281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158  df-fzo 9282
This theorem is referenced by:  prmind2  10709
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