Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgrrn Unicode version

Theorem frecuzrdgrrn 9479
 Description: The function (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) yields ordered pairs of integers and elements of . (Contributed by Jim Kingdon, 28-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1
frec2uz.2 frec
frecuzrdgrrn.a
frecuzrdgrrn.f
frecuzrdgrrn.2 frec
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgrrn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem frecuzrdgrrn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrrn.2 . . 3 frec
21fveq1i 5204 . 2 frec
3 frec2uz.1 . . . . . 6
4 uzid 8703 . . . . . 6
53, 4syl 14 . . . . 5
6 frecuzrdgrrn.a . . . . 5
7 opelxp 4394 . . . . 5
85, 6, 7sylanbrc 408 . . . 4
10 1st2nd2 5826 . . . . . . 7
11 fveq2 5203 . . . . . . . 8
12 df-ov 5540 . . . . . . . 8
1311, 12syl6eqr 2132 . . . . . . 7
1410, 13syl 14 . . . . . 6
1514adantl 271 . . . . 5
16 xp1st 5817 . . . . . . 7
1716adantl 271 . . . . . 6
18 xp2nd 5818 . . . . . . 7
1918adantl 271 . . . . . 6
20 peano2uz 8741 . . . . . . . 8
2117, 20syl 14 . . . . . . 7
22 frecuzrdgrrn.f . . . . . . . . . 10
2322ralrimivva 2444 . . . . . . . . 9
2423ad2antrr 472 . . . . . . . 8
25 oveq1 5544 . . . . . . . . . . 11
2625eleq1d 2148 . . . . . . . . . 10
27 oveq2 5545 . . . . . . . . . . 11
2827eleq1d 2148 . . . . . . . . . 10
2926, 28rspc2v 2714 . . . . . . . . 9
3017, 19, 29syl2anc 403 . . . . . . . 8
3124, 30mpd 13 . . . . . . 7
32 opelxp 4394 . . . . . . 7
3321, 31, 32sylanbrc 408 . . . . . 6
34 oveq1 5544 . . . . . . . 8
3534, 25opeq12d 3580 . . . . . . 7
3627opeq2d 3579 . . . . . . 7
37 eqid 2082 . . . . . . 7
3835, 36, 37ovmpt2g 5660 . . . . . 6
3917, 19, 33, 38syl3anc 1170 . . . . 5
4015, 39eqtrd 2114 . . . 4
4140, 33eqeltrd 2156 . . 3
42 simpr 108 . . 3
439, 41, 42freccl 6046 . 2 frec
442, 43syl5eqel 2166 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1285   wcel 1434  wral 2349  cop 3403   cmpt 3841  com 4333   cxp 4363  cfv 4926  (class class class)co 5537   cmpt2 5539  c1st 5790  c2nd 5791  freccfrec 6033  c1 7033   caddc 7035  cz 8421  cuz 8689 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690 This theorem is referenced by:  frec2uzrdg  9480  frecuzrdgtcl  9483  frecuzrdgsuc  9485
 Copyright terms: Public domain W3C validator