ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz Unicode version

Theorem fzneuz 9194
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  -.  ( M ... N )  =  ( ZZ>= `  K
) )

Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 8752 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
21adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
3 eluzelz 8709 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
4 zre 8436 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
54ltp1d 8075 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
6 peano2z 8468 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
7 zltnle 8478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
86, 7mpdan 412 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( N  + 
1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
95, 8mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  N )
11 elfzle2 9123 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( N  +  1 )  <_  N )
1210, 11nsyl 591 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
1312ad2antrr 472 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
14 nelneq2 2181 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  -.  ( N  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  ( ZZ>= `  K )  =  ( M ... N ) )
152, 13, 14syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( ZZ>= `  K )  =  ( M ... N ) )
16 eqcom 2084 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  K )  =  ( M ... N
)  <->  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
1715, 16sylnib 634 . 2  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
18 eluzfz2 9127 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
1918ad2antrr 472 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  ( M ... N ) )
20 nelneq2 2181 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( M ... N )  /\  -.  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
2119, 20sylancom 411 . 2  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
22 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
233adantr 270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 eluzdc 8778 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  K
) )
2522, 23, 24syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )
26 df-dc 777 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  K )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
2725, 26sylib 120 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
2817, 21, 27mpjaodan 745 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  -.  ( M ... N )  =  ( ZZ>= `  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator