ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz Unicode version

Theorem fzneuz 9035
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  -.  ( M ... N )  =  ( ZZ>= `  K
) )

Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 8592 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
21adantl 266 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
3 eluzelz 8548 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
4 zre 8276 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
54ltp1d 7941 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
6 peano2z 8308 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
7 zltnle 8318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
86, 7mpdan 406 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( N  + 
1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
95, 8mpbid 139 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  N )
11 elfzle2 8964 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( N  +  1 )  <_  N )
1210, 11nsyl 566 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
1312ad2antrr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
14 nelneq2 2153 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  -.  ( N  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  ( ZZ>= `  K )  =  ( M ... N ) )
152, 13, 14syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( ZZ>= `  K )  =  ( M ... N ) )
16 eqcom 2056 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  K )  =  ( M ... N
)  <->  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
1715, 16sylnib 609 . 2  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
18 eluzfz2 8968 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
1918ad2antrr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  ( M ... N ) )
20 nelneq2 2153 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( M ... N )  /\  -.  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
2119, 20sylancom 405 . 2  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
22 simpr 107 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
233adantr 265 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 eluzdc 8614 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  K
) )
2522, 23, 24syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )
26 df-dc 752 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  K )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
2725, 26sylib 131 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
2817, 21, 27mpjaodan 720 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  -.  ( M ... N )  =  ( ZZ>= `  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 637  DECID wdc 751    = wceq 1257    e. wcel 1407   class class class wbr 3789   ` cfv 4927  (class class class)co 5537   1c1 6918    + caddc 6920    < clt 7089    <_ cle 7090   ZZcz 8272   ZZ>=cuz 8539   ...cfz 8946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273  df-uz 8540  df-fz 8947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator