ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imneg Unicode version

Theorem imneg 9890
Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )

Proof of Theorem imneg
StepHypRef Expression
1 recl 9867 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 7198 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 7122 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 9868 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 7198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 7151 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 405 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negdid 7488 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
9 replim 9873 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
109negeqd 7359 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  -u ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
11 mulneg2 7556 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
123, 5, 11sylancr 405 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1312oveq2d 5553 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
148, 10, 133eqtr4d 2124 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )
1514fveq2d 5207 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  ( Im `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) ) )
161renegcld 7540 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
174renegcld 7540 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
18 crim 9872 . . 3  |-  ( (
-u ( Re `  A )  e.  RR  /\  -u ( Im `  A
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
1916, 17, 18syl2anc 403 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )  =  -u ( Im `  A ) )
2015, 19eqtrd 2114 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   CCcc 7030   RRcr 7031   _ici 7034    + caddc 7035    x. cmul 7037   -ucneg 7336   Recre 9854   Imcim 9855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-2 8154  df-cj 9856  df-re 9857  df-im 9858
This theorem is referenced by:  imsub  9892  cjneg  9904  imnegi  9939  imnegd  9969
  Copyright terms: Public domain W3C validator