Theorem infnninf 7022

Description: The point at infinity in ℕ_∞ (the constant sequence equal to 1o). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnninf	|- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem infnninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6321	. . . . . 6 |- 1o e. _V
2	1	sucid 4339	. . . . 5 |- 1o e. suc 1o
3		df-2o 6314	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	eleqtrri 2215	. . . 4 |- 1o e. 2o
5	4	fconst6 5322	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) : om --> 2o
6		2onn 6417	. . . . 5 |- 2o e. om
7	6	elexi 2698	. . . 4 |- 2o e. _V
8		omex 4507	. . . 4 |- om e. _V
9	7, 8	elmap 6571	. . 3 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { 1o } ) : om --> 2o )
10	5, 9	mpbir 145	. 2 |- ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om )
11		peano2 4509	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
12	1	fvconst2 5636	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = 1o )
14	1	fvconst2 5636	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` i ) = 1o )
15	13, 14	eqtr4d 2175	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
16		eqimss 3151	. . . 4 |- ( ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
18	17	rgen 2485	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i )
19		fveq1 5420	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) )
20		fveq1 5420	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { 1o } ) ` i ) )
21	19, 20	sseq12d 3128	. . . 4 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
22	21	ralbidv 2437	. . 3 |- ( f = ( om X. { 1o } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
23		df-nninf 7007	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
24	22, 23	elrab2 2843	. 2 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { 1o } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { 1o } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { 1o } ) ` i ) ) )
25	10, 18, 24	mpbir2an 926	1 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071   {csn 3527   suc csuc 4287   omcom 4504   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ^m cmap 6542  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10211  nninffeq  13216