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Theorem uzsinds 9570
Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzsinds.2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzsinds.3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
uzsinds  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Distinct variable groups:    ch, x    x, M, y    x, N    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    N( y)

Proof of Theorem uzsinds
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzsinds.2 . 2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2 oveq2 5571 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  ( M ... w )  =  ( M ... M
) )
32raleqdv 2560 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... M ) ph ) )
4 oveq2 5571 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( M ... w )  =  ( M ... k
) )
54raleqdv 2560 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... k ) ph ) )
6 oveq2 5571 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... w )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
76raleqdv 2560 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
8 oveq2 5571 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( M ... w )  =  ( M ... N
) )
98raleqdv 2560 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... N ) ph ) )
10 ral0 3359 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  ps
11 zre 8488 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211ltm1d 8129 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  <  M )
13 peano2zm 8522 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
14 fzn 9189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  < 
M  <->  ( M ... ( M  -  1
) )  =  (/) ) )
1513, 14mpdan 412 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  -  1 )  <  M  <->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) ) )
1612, 15mpbid 145 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  - 
1 ) )  =  (/) )
1716raleqdv 2560 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps  <->  A. y  e.  (/)  ps )
)
1810, 17mpbiri 166 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps )
19 uzid 8766 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 uzsinds.3 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
2120rgen 2421 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( A. y  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ps  ->  ph )
22 nfv 1462 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps
23 nfsbc1v 2842 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. M  /  x ]. ph
2422, 23nfim 1505 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps  ->  [. M  /  x ]. ph )
25 oveq1 5570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
x  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
2625oveq2d 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( M  -  1 ) ) )
2726raleqdv 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  - 
1 ) ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps ) )
28 sbceq1a 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<-> 
[. M  /  x ]. ph ) )
2927, 28imbi12d 232 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( A. y  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps  ->  [. M  /  x ]. ph ) ) )
3024, 29rspc 2704 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps  ->  [. M  /  x ]. ph ) ) )
3119, 21, 30mpisyl 1376 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps 
->  [. M  /  x ]. ph ) )
3218, 31mpd 13 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  [. M  /  x ]. ph )
33 ralsns 3449 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { M } ph  <->  [. M  /  x ]. ph ) )
3432, 33mpbird 165 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  { M } ph )
35 fzsn 9212 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3635raleqdv 2560 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ( M ... M ) ph  <->  A. x  e.  { M } ph ) )
3734, 36mpbird 165 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  ( M ... M
) ph )
38 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( M ... k )
ph )
39 uzsinds.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4039cbvralv 2582 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M ... k ) ph  <->  A. y  e.  ( M ... k
) ps )
4138, 40sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( M ... k ) ps )
42 eluzelz 8761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
4342adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  k  e.  ZZ )
4443zcnd 8603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  k  e.  CC )
45 1cnd 7249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  1  e.  CC )
4644, 45pncand 7539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
4746oveq2d 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M ... k ) )
4847raleqdv 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... k
) ps ) )
49 peano2uz 8804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5049adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
51 nfv 1462 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ps
52 nfsbc1v 2842 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph
5351, 52nfim 1505 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( A. y  e.  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
54 oveq1 5570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
5554oveq2d 5579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )
5655raleqdv 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  - 
1 ) ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ps ) )
57 sbceq1a 2833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
5856, 57imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. y  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
5953, 58rspc 2704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
6050, 21, 59mpisyl 1376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
6148, 60sylbird 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... k
) ps  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
6241, 61mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
6342peano2zd 8605 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
6463adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
65 ralsns 3449 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
6664, 65syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. x  e. 
{ ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
6762, 66mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  {
( k  +  1 ) } ph )
68 ralun 3164 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( M ... k )
ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph )  ->  A. x  e.  ( ( M ... k
)  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph )
6938, 67, 68syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( ( M ... k
)  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph )
70 fzsuc 9214 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( M ... k
)  u.  { ( k  +  1 ) } ) )
7170raleqdv 2560 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( M ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ph ) )
7271adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( M ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ph ) )
7369, 72mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) )
ph )
7473ex 113 . . 3  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ph  ->  A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
753, 5, 7, 9, 37, 74uzind4 8809 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ph )
76 eluzfz2 9179 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
771, 75, 76rspcdva 2715 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   [.wsbc 2824    u. cun 2980   (/)c0 3267   {csn 3416   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   1c1 7096    + caddc 7098    < clt 7267    - cmin 7398   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   ...cfz 9157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158
This theorem is referenced by:  nnsinds  9571  nn0sinds  9572
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