Theorem nnmword 6178

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 294	. . . 4 |- ( (/) e. C -> ( B e. A <-> ( B e. A /\ (/) e. C ) ) )
2		nnmord 6177	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ A e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
3	2	3com12 1143	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
4	1, 3	sylan9bbr 451	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
5	4	notbid 625	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. B e. A <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
6		simpl1 942	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
7		simpl2 943	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
8		nntri1 6160	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 403	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
10		simpl3 944	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
11		nnmcl 6145	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
12	10, 6, 11	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
13		nnmcl 6145	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
14	10, 7, 13	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
15		nntri1 6160	. . 3 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 403	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
17	5, 9, 16	3bitr4d 218	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   e. wcel 1434   C_ wss 2982   (/)c0 3267   omcom 4359  (class class class)co 5563   .o comu 6083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-oadd 6089  df-omul 6090

This theorem is referenced by:  nnmcan  6179  archnqq  6721