ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmcl Unicode version

Theorem nnmcl 6118
Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnmcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
21eleq1d 2148 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  .o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
54eleq1d 2148 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
76eleq1d 2148 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
98eleq1d 2148 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nnm0 6112 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
11 peano1 4337 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
1210, 11syl6eqel 2170 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
13 nnacl 6117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
1413expcom 114 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1514adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
)
16 nnmsuc 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
1716eleq1d 2148 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  e.  om  <->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1815, 17sylibrd 167 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y )  e.  om ) )
1918expcom 114 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
) )
205, 7, 9, 12, 19finds2 4344 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  x )  e.  om ) )
213, 20vtoclga 2665 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
2221impcom 123 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   (/)c0 3252   suc csuc 4122   omcom 4333  (class class class)co 5537    +o coa 6056    .o comu 6057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-oadd 6063  df-omul 6064
This theorem is referenced by:  nnmcli  6120  nndi  6123  nnmass  6124  nnmsucr  6125  nnmordi  6148  nnmord  6149  nnmword  6150  mulclpi  6569  enq0tr  6675  addcmpblnq0  6684  mulcmpblnq0  6685  mulcanenq0ec  6686  addclnq0  6692  mulclnq0  6693  nqpnq0nq  6694  distrnq0  6700  addassnq0lemcl  6702  addassnq0  6703
  Copyright terms: Public domain W3C validator