Theorem odd2np1lem 11569

Description: Lemma for odd2np1 11570. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1lem	|- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )

Distinct variable groups:   k, N   n, N

Proof of Theorem odd2np1lem

Dummy variables j m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2149	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 ) )
2	1	rexbidv 2438	. . 3 |- ( j = 0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 ) )
3		eqeq2 2149	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = 0 ) )
4	3	rexbidv 2438	. . 3 |- ( j = 0 -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 ) )
5	2, 4	orbi12d 782	. 2 |- ( j = 0 -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 ) ) )
6		eqeq2 2149	. . . . 5 |- ( j = m -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m ) )
7	6	rexbidv 2438	. . . 4 |- ( j = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m ) )
8		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( n = x -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. x ) )
9	8	oveq1d 5789	. . . . . 6 |- ( n = x -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + 1 ) )
10	9	eqeq1d 2148	. . . . 5 |- ( n = x -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m <-> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
11	10	cbvrexv 2655	. . . 4 |- ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m )
12	7, 11	syl6bb 195	. . 3 |- ( j = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
13		eqeq2 2149	. . . . 5 |- ( j = m -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = m ) )
14	13	rexbidv 2438	. . . 4 |- ( j = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = m ) )
15		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( k x. 2 ) = ( y x. 2 ) )
16	15	eqeq1d 2148	. . . . 5 |- ( k = y -> ( ( k x. 2 ) = m <-> ( y x. 2 ) = m ) )
17	16	cbvrexv 2655	. . . 4 |- ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = m <-> E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m )
18	14, 17	syl6bb 195	. . 3 |- ( j = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) )
19	12, 18	orbi12d 782	. 2 |- ( j = m -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) ) )
20		eqeq2 2149	. . . 4 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
21	20	rexbidv 2438	. . 3 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
22		eqeq2 2149	. . . 4 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
23	22	rexbidv 2438	. . 3 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
24	21, 23	orbi12d 782	. 2 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
25		eqeq2 2149	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
26	25	rexbidv 2438	. . 3 |- ( j = N -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
27		eqeq2 2149	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = N ) )
28	27	rexbidv 2438	. . 3 |- ( j = N -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
29	26, 28	orbi12d 782	. 2 |- ( j = N -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
30		0z 9065	. . . 4 |- 0 e. ZZ
31		2cn 8791	. . . . 5 |- 2 e. CC
32	31	mul02i 8152	. . . 4 |- ( 0 x. 2 ) = 0
33		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( k x. 2 ) = ( 0 x. 2 ) )
34	33	eqeq1d 2148	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( k x. 2 ) = 0 <-> ( 0 x. 2 ) = 0 ) )
35	34	rspcev 2789	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 x. 2 ) = 0 ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 )
36	30, 32, 35	mp2an 422	. . 3 |- E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0
37	36	olci 721	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 )
38		orcom 717	. . 3 |- ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) <-> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m \/ E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
39		zcn 9059	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
40		mulcom 7749	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
41	39, 31, 40	sylancl 409	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
42	41	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
43	42	eqeq1d 2148	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = m <-> ( 2 x. y ) = m ) )
44		eqid 2139	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 )
45		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = y -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. y ) )
46	45	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
47	46	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
48	47	rspcev 2789	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
49	44, 48	mpan2 421	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
50		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
51	50	eqeq2d 2151	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
52	51	rexbidv 2438	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
53	49, 52	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> ( ( 2 x. y ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
54	53	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
55	43, 54	sylbid 149	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
56	55	rexlimdva 2549	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
57		peano2z 9090	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. ZZ )
58	57	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
59		zcn 9059	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
60		mulcom 7749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( x x. 2 ) = ( 2 x. x ) )
61	31, 60	mpan2 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x x. 2 ) = ( 2 x. x ) )
62	31	mulid2i 7769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 x. 2 ) = 2
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( 1 x. 2 ) = 2 )
64	61, 63	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. x ) + 2 ) )
65		df-2 8779	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
66	65	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. x ) + 2 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) )
67	64, 66	syl6eq 2188	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
68		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
69		adddir 7757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) )
70	68, 31, 69	mp3an23 1307	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) )
71		mulcl 7747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
72	31, 71	mpan 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( 2 x. x ) e. CC )
73		addass 7750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. x ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
74	68, 68, 73	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
75	72, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
76	67, 70, 75	3eqtr4d 2182	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
77	59, 76	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
78	77	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
79		oveq1 5781	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( x + 1 ) -> ( k x. 2 ) = ( ( x + 1 ) x. 2 ) )
80	79	eqeq1d 2148	. . . . . . . 8 |- ( k = ( x + 1 ) -> ( ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) ) )
81	80	rspcev 2789	. . . . . . 7 |- ( ( ( x + 1 ) e. ZZ /\ ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
82	58, 78, 81	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
83		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
84	83	eqeq2d 2151	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
85	84	rexbidv 2438	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
86	82, 85	syl5ibcom 154	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
87	86	rexlimdva 2549	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
88	56, 87	orim12d 775	. . 3 |- ( m e. NN0 -> ( ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m \/ E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
89	38, 88	syl5bi 151	. 2 |- ( m e. NN0 -> ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
90	5, 19, 24, 29, 37, 89	nn0ind 9165	1 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   2c2 8771   NN0cn0 8977   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  odd2np1  11570