Theorem odd2np1lem 11569

Description: Lemma for odd2np1 11570. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1lem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1lem

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2149	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
2	1	rexbidv 2438	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
3		eqeq2 2149	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 0))
4	3	rexbidv 2438	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0))
5	2, 4	orbi12d 782	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)))
6		eqeq2 2149	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
7	6	rexbidv 2438	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
8		oveq2 5782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑥))
9	8	oveq1d 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑥) + 1))
10	9	eqeq1d 2148	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
11	10	cbvrexv 2655	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚)
12	7, 11	syl6bb 195	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
13		eqeq2 2149	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑚))
14	13	rexbidv 2438	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚))
15		oveq1 5781	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 2) = (𝑦 · 2))
16	15	eqeq1d 2148	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ (𝑦 · 2) = 𝑚))
17	16	cbvrexv 2655	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)
18	14, 17	syl6bb 195	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚))
19	12, 18	orbi12d 782	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)))
20		eqeq2 2149	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
21	20	rexbidv 2438	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
22		eqeq2 2149	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
23	22	rexbidv 2438	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
24	21, 23	orbi12d 782	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
25		eqeq2 2149	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26	25	rexbidv 2438	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
27		eqeq2 2149	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑁))
28	27	rexbidv 2438	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
29	26, 28	orbi12d 782	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
30		0z 9065	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		2cn 8791	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31	mul02i 8152	. . . 4 ⊢ (0 · 2) = 0
33		oveq1 5781	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 2) = (0 · 2))
34	33	eqeq1d 2148	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 2) = 0 ↔ (0 · 2) = 0))
35	34	rspcev 2789	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (0 · 2) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
36	30, 32, 35	mp2an 422	. . 3 ⊢ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0
37	36	olci 721	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
38		orcom 717	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) ↔ (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
39		zcn 9059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
40		mulcom 7749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
41	39, 31, 40	sylancl 409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
42	41	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq1d 2148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 ↔ (2 · 𝑦) = 𝑚))
44		eqid 2139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)
45		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑦))
46	45	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
47	46	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)))
48	47	rspcev 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
49	44, 48	mpan2 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
50		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ((2 · 𝑦) + 1) = (𝑚 + 1))
51	50	eqeq2d 2151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
52	51	rexbidv 2438	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
53	49, 52	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
54	53	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
55	43, 54	sylbid 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
56	55	rexlimdva 2549	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
57		peano2z 9090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
58	57	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
59		zcn 9059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
60		mulcom 7749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
61	31, 60	mpan2 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
62	31	mulid2i 7769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 2) = 2
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
64	61, 63	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + 2))
65		df-2 8779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
66	65	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1))
67	64, 66	syl6eq 2188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
68		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		adddir 7757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
70	68, 31, 69	mp3an23 1307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
71		mulcl 7747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
72	31, 71	mpan 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
73		addass 7750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
74	68, 68, 73	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
75	72, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
76	67, 70, 75	3eqtr4d 2182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
77	59, 76	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
78	77	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
79		oveq1 5781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → (𝑘 · 2) = ((𝑥 + 1) · 2))
80	79	eqeq1d 2148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
81	80	rspcev 2789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
82	58, 78, 81	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
83		oveq1 5781	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = (𝑚 + 1))
84	83	eqeq2d 2151	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
85	84	rexbidv 2438	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
86	82, 85	syl5ibcom 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
87	86	rexlimdva 2549	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
88	56, 87	orim12d 775	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
89	38, 88	syl5bi 151	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
90	5, 19, 24, 29, 37, 89	nn0ind 9165	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625  2c2 8771  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  odd2np1  11570