ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtri2or2exmidlem Unicode version

Theorem ordtri2or2exmidlem 4279
Description: A set which is  2o if  ph or  (/) if  -.  ph is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2or2exmidlem  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On
Distinct variable group:    ph, x

Proof of Theorem ordtri2or2exmidlem
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  (/) )  ->  y  e.  z )
2 noel 3256 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  e.  (/)
3 eleq2 2117 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (/) ) )
42, 3mtbiri 610 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  -.  y  e.  z )
54adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  (/) )  ->  -.  y  e.  z )
61, 5pm2.21dd 560 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  (/) )  ->  y  e.  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph } )
7 eleq2 2117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  {
(/) } ) )
87biimpac 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  =  { (/) } )  ->  y  e.  { (/)
} )
9 velsn 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
108, 9sylib 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  =  { (/) } )  ->  y  =  (/) )
11 orc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { (/) } ) )
12 vex 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1312elpr 3424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { (/) ,  { (/)
} }  <->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { (/) } ) )
1411, 13sylibr 141 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
{ (/) ,  { (/) } } )
1510, 14syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  =  { (/) } )  ->  y  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
1615adantlr 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  { (/) } )  -> 
y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
17 biidd 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
1817elrab 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ( z  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  ph ) )
1918simprbi 264 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ph )
2019ad2antlr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  { (/) } )  ->  ph )
21 biidd 165 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
2221elrab 2721 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  ph ) )
2316, 20, 22sylanbrc 402 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  { (/) } )  -> 
y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)
24 elrabi 2718 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  z  e.  { (/) ,  { (/) } } )
25 vex 2577 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
2625elpr 3424 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  <->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
2724, 26sylib 131 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
2827adantl 266 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
296, 23, 28mpjaodan 722 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)  ->  y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
3029gen2 1355 . . . 4  |-  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph } )  -> 
y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)
31 dftr2 3884 . . . 4  |-  ( Tr 
{ x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph } )  -> 
y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) )
3230, 31mpbir 138 . . 3  |-  Tr  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
33 ssrab2 3053 . . 3  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_ 
{ (/) ,  { (/) } }
34 2ordpr 4277 . . 3  |-  Ord  { (/)
,  { (/) } }
35 trssord 4145 . . 3  |-  ( ( Tr  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  /\  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) ,  { (/) } }  /\  Ord  { (/) ,  { (/) } } )  ->  Ord  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
3632, 33, 34, 35mp3an 1243 . 2  |-  Ord  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
37 pp0ex 3968 . . . 4  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
3837rabex 3929 . . 3  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  _V
3938elon 4139 . 2  |-  ( { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On  <->  Ord  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)
4036, 39mpbir 138 1  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   {crab 2327    C_ wss 2945   (/)c0 3252   {csn 3403   {cpr 3404   Tr wtr 3882   Ord word 4127   Oncon0 4128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-tr 3883  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136
This theorem is referenced by:  ordtri2or2exmid  4324
  Copyright terms: Public domain W3C validator