ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ontr2exmid Unicode version

Theorem ontr2exmid 4276
Description: An ordinal transitivity law which implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
ontr2exmid.1  |-  A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )
Assertion
Ref Expression
ontr2exmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z

Proof of Theorem ontr2exmid
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3080 . . . . 5  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
2 p0ex 3967 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
32prid2 3507 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
4 2ordpr 4275 . . . . . . 7  |-  Ord  { (/)
,  { (/) } }
5 pp0ex 3968 . . . . . . . 8  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
65elon 4137 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  e.  On  <->  Ord  { (/) ,  { (/)
} } )
74, 6mpbir 144 . . . . . 6  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  On
8 ordtriexmidlem 4271 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
9 ontr2exmid.1 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )
10 sseq1 3021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  C_  y 
<->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_  y ) )
1110anbi1d 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x 
C_  y  /\  y  e.  z )  <->  ( {
w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z ) ) )
12 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  z  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  z ) )
1311, 12imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( x  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <-> 
( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1413ralbidv 2369 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( A. z  e.  On  ( ( x 
C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1514albidv 1746 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( A. y A. z  e.  On  ( ( x  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
1615rspcv 2698 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  A. y A. z  e.  On  (
( x  C_  y  /\  y  e.  z
)  ->  x  e.  z )  ->  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
178, 9, 16mp2 16 . . . . . . 7  |-  A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
18 sseq2 3022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_  y  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } ) )
19 eleq1 2142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  e.  z  <->  { (/) }  e.  z ) )
2018, 19anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  <->  ( {
w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) }  /\  { (/) }  e.  z ) ) )
2120imbi1d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
2221ralbidv 2369 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  A. z  e.  On  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
) )
232, 22spcv 2692 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  y  /\  y  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  ->  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
)
2417, 23ax-mp 7 . . . . . 6  |-  A. z  e.  On  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) }  /\  { (/) }  e.  z )  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )
25 eleq2 2143 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  ( { (/) }  e.  z  <->  { (/) }  e.  { (/)
,  { (/) } }
) )
2625anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  <->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } ) ) )
27 eleq2 2143 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z 
<->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/) } } ) )
2826, 27imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { (/) ,  { (/)
} }  ->  (
( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  <->  ( ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } ) ) )
2928rspcv 2698 . . . . . 6  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  e.  On  ->  ( A. z  e.  On  (
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  z
)  ->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  z )  ->  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } ) ) )
307, 24, 29mp2 16 . . . . 5  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) }  /\  { (/)
}  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} } )
311, 3, 30mp2an 417 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
32 elpri 3429 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) ,  { (/) } }  ->  ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) } ) )
3331, 32ax-mp 7 . . 3  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
\/  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  { (/) } )
34 ordtriexmidlem2 4272 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
35 0ex 3913 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
36 biidd 170 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3735, 36rabsnt 3475 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) }  ->  ph )
3834, 37orim12i 709 . . 3  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/)  \/  { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) } )  ->  ( -.  ph  \/  ph ) )
3933, 38ax-mp 7 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
40 orcom 680 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
4139, 40mpbi 143 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   {crab 2353    C_ wss 2974   (/)c0 3258   {csn 3406   {cpr 3407   Ord word 4125   Oncon0 4126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-tr 3884  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator