Theorem pitric 7129

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitric	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Proof of Theorem pitric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7117	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7117	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri2 6390	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
5		ltpiord 7127	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		ltpiord 7127	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
7	6	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	orbi2d 779	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A = B \/ B <N A ) <-> ( A = B \/ B e. A ) ) )
9	8	notbid 656	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( -. ( A = B \/ B <N A ) <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> -. ( A = B \/ B <N A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   omcom 4504   N.cnpi 7080   <N clti 7083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-ni 7112  df-lti 7115

This theorem is referenced by: (None)