Theorem rexiunxp 4681

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4683, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexiunxp	|- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem rexiunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 4678	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	anbi1i 453	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
3		19.41vv 1875	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
5	4	exbii 1584	. . 3 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
6		exrot3 1668	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
7		anass 398	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
8	7	exbii 1584	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
9		vex 2689	. . . . . . . 8 |- y e. _V
10		vex 2689	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	9, 10	opex 4151	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
12		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
13	12	anbi2d 459	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) ) )
14	11, 13	ceqsexv 2725	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
15	8, 14	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
16	15	2exbii 1585	. . . 4 |- ( E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
17	6, 16	bitri 183	. . 3 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
18	5, 17	bitri 183	. 2 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
19		df-rex 2422	. 2 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) )
20		r2ex 2455	. 2 |- ( E. y e. A E. z e. B ps <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 211	1 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2417   {csn 3527   <.cop 3530   U_ciun 3813   X. cxp 4537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-iun 3815  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546

This theorem is referenced by:  rexxp  4683