Theorem sumrbdclem 11146

Description: Lemma for sumrbdc 11148. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummo.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
isumrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k   k, M

Allowed substitution hints:   B( k)   F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addid2 7901	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 0 + n ) = n )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 0 + n ) = n )
3		0cnd 7759	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 e. CC )
4		isumrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9335	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 821	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
15	14	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
16		iffalse 3482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
17		0cn 7758	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 706	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
24		nfv 1508	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
25		nfcsb1v 3035	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
26		nfcv 2281	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
27	24, 25, 26	nfif 3500	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 )
28	27	nfel1 2292	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC
29		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
30		csbeq1a 3012	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
31	29, 30	ifbieq1d 3494	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
32	31	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
33	28, 32	rspc 2783	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
35	34	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
36		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ k N
37		isummo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5513	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
39	7, 35, 38	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
40	39, 35	eqeltrd 2216	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 9806	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 9802	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
45		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3035	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 26	nfif 3500	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
48	47	nfel1 2292	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC
49		eleq1 2202	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3012	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3494	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
52	51	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2783	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
55		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5513	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 583	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
58		uznfz 9883	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 616	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3091	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 652	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3484	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = 0 )
65	57, 64	eqtrd 2172	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
66		eluzelz 9335	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 583	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2216	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		addcl 7745	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n + z ) e. CC )
73	72	adantl 275	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n + z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10281	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003   C_ wss 3071   ifcif 3474   |-> cmpt 3989   |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  sumrbdc  11148