Theorem sumrbdclem 11146

Description: Lemma for sumrbdc 11148. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
isumrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addid2 7901	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
2	1	adantl 275	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3		0cnd 7759	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4		isumrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzelz 9335	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
9		exmiddc 821	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
11		iftrue 3479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
15	14	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
16		iffalse 3482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
17		0cn 7758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	16, 17	eqeltrdi 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
20	15, 19	jaod 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
23	22	ralrimiva 2505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
24		nfv 1508	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ 𝐴
25		nfcsb1v 3035	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵
26		nfcv 2281	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘0
27	24, 25, 26	nfif 3500	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0)
28	27	nfel1 2292	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
29		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
30		csbeq1a 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵)
31	29, 30	ifbieq1d 3494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
32	31	eleq1d 2208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
33	28, 32	rspc 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
35	34	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
36		nfcv 2281	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
37		isummo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5513	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
39	7, 35, 38	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
40	39, 35	eqeltrd 2216	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
41		elfzelz 9806	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42		elfzuz 9802	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43	42	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
44	23	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
45		nfv 1508	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝐴
46		nfcsb1v 3035	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵
47	45, 46, 26	nfif 3500	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0)
48	47	nfel1 2292	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
49		eleq1 2202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
50		csbeq1a 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝐵 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵)
51	49, 50	ifbieq1d 3494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
52	51	eleq1d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
53	48, 52	rspc 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
55		nfcv 2281	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5513	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
57	41, 54, 56	syl2an2 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
58		uznfz 9883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
59	58	con2i 616	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
60	59	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
61		ssel 3091	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
62	61	ad2antlr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
63	60, 62	mtod 652	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
64	63	iffalsed 3484	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) = 0)
65	57, 64	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = 0)
66		eluzelz 9335	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
68	23	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
70	66, 69, 56	syl2an2 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
71	70, 69	eqeltrd 2216	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
72		addcl 7745	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
73	72	adantl 275	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10281	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ⦋csb 3003   ⊆ wss 3071  ifcif 3474   ↦ cmpt 3989   ↾ cres 4541  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   − cmin 7933  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  sumrbdc  11148