Theorem cnpfval 12364

Description: The function mapping the points in a topology J to the set of all functions from J to topology K continuous at that point. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpfval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )

Distinct variable groups:   w, f, x, K   f, X, w, x   f, Y, w, x   v, f, J, w, x

Allowed substitution hints:   K( v)   X( v)   Y( v)

Proof of Theorem cnpfval

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnp 12358	. . 3 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) ) )
3		simprl 520	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> j = J )
4	3	unieqd 3747	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. j = U. J )
5		toponuni 12182	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 479	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> X = U. J )
7	4, 6	eqtr4d 2175	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. j = X )
8		simprr 521	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> k = K )
9	8	unieqd 3747	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. k = U. K )
10		toponuni 12182	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
11	10	ad2antlr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> Y = U. K )
12	9, 11	eqtr4d 2175	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> U. k = Y )
13	12, 7	oveq12d 5792	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( U. k ^m U. j ) = ( Y ^m X ) )
14	3	rexeqdv 2633	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) <-> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) <-> ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) ) )
16	8, 15	raleqbidv 2638	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) <-> A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) ) )
17	13, 16	rabeqbidv 2681	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } )
18	7, 17	mpteq12dv 4010	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( j = J /\ k = K ) ) -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. w e. k ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. j ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
19		topontop 12181	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
20	19	adantr 274	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. Top )
21		topontop 12181	. . 3 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
22	21	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. Top )
23		fnmap 6549	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ^m Fn ( _V X. _V ) )
25		toponmax 12192	. . . . . . . . 9 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
26	25	elexd 2699	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. _V )
27	26	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> Y e. _V )
28		toponmax 12192	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
29	28	elexd 2699	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
30	29	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> X e. _V )
31		fnovex 5804	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ Y e. _V /\ X e. _V ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
32	24, 27, 30, 31	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
33	32	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. X ) -> ( Y ^m X ) e. _V )
34		ssrab2 3182	. . . . . 6 |- { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } C_ ( Y ^m X )
35		elpw2g 4081	. . . . . 6 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> ( { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) <-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } C_ ( Y ^m X ) ) )
36	34, 35	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) e. _V -> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) )
37	33, 36	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. X ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. ~P ( Y ^m X ) )
38	37	fmpttd 5575	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) : X --> ~P ( Y ^m X ) )
39	28	adantr 274	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> X e. J )
40	32	pwexd 4105	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ~P ( Y ^m X ) e. _V )
41		fex2 5291	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) : X --> ~P ( Y ^m X ) /\ X e. J /\ ~P ( Y ^m X ) e. _V ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) e. _V )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) e. _V )
43	2, 18, 20, 22, 42	ovmpod 5898	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   "cima 4542   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   ^m cmap 6542   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   CnP ccnp 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12165  df-topon 12178  df-cnp 12358

This theorem is referenced by:  cnpval  12367