ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposexg Unicode version

Theorem tposexg 5901
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 5892 . 2  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
2 dmexg 4618 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  dom  F  e.  _V )
3 cnvexg 4879 . . . . 5  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  `' dom  F  e.  _V )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  `' dom  F  e.  _V )
5 p0ex 3961 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
6 unexg 4198 . . . 4  |-  ( ( `' dom  F  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 404 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  e.  _V )
8 rnexg 4619 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
9 xpexg 4474 . . 3  |-  ( ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e. 
_V  /\  ran  F  e. 
_V )  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
107, 8, 9syl2anc 403 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
11 ssexg 3919 . 2  |-  ( (tpos 
F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  /\  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  e.  _V )  -> tpos  F  e.  _V )
121, 10, 11sylancr 405 1  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1434   _Vcvv 2602    u. cun 2972    C_ wss 2974   (/)c0 3252   {csn 3400    X. cxp 4363   `'ccnv 4364   dom cdm 4365   ran crn 4366  tpos ctpos 5887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-tpos 5888
This theorem is referenced by:  tposex  5921
  Copyright terms: Public domain W3C validator